Графический способ

Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть  — вещественная функция n переменных.

Рассмотрим некоторое (n+1)-мерное линейное пространство над полем вещественных чисел (так как функция вещественная). Выберем в этом пространстве любой базис ( ). Каждой точке функции сопоставим вектор: . Таким образом, мы будем иметь множество векторов линейного пространства, соответствующих точкам данной функции по указанному правилу. Точки соответствующего аффинного пространства будут образовывать некоторую поверхность.

Если в качестве линейного пространства взять евклидово пространство свободных геометрических векторов (направленных отрезков), а число аргументов функции f не превосходит 2, указанное множество точек можно изобразить наглядно в виде чертежа (графика). Если сверх того исходный базис взять ортонормированным, получим «школьное» определение графика функции.

Для функций 3 аргументов и более такое представление не применимо ввиду отсутствия у человека геометрической интуиции многомерных пространств.

Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвертой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике).

Связанные определения Сужение и продолжение функции

Основная статья: Сужение и продолжение функции

Пусть дано отображение и .

Отображение , которое принимает на те же значения, что и функция , называется суже́нием (или, иначе ограничением) функции на множество .

Сужение функции на множество обозначается как .

Если функция такова, что она является сужением для некоторой функции , то функция , в свою очередь, называется продолжением функции на множество .

Образ и прообраз (при отображении)

Элемент , который сопоставлен элементу , называется образом элемента (точки) (при отображении ).

Если взять целое подмножество области определения функции , то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества , а именно подмножество области значений (функции ) вида

,

которое, называется образом множества (при отображении ). Это множество иногда обозначается как или .

Наоборот, взяв некоторое подмножество области значений функции , можно рассмотреть совокупность тех элементов области определения (функции ), чьи образы попадают в множество , а именно — множество вида

,

которое называется (полным) прообразом множества (при отображении ).

В том частном случае, когда множество состоит из одного элемента, скажем, , множество имеет более простое обозначение .

Тождественное отображение

Отображения, у которых совпадают область определения и область значений, называются отображениями заданного множества в себя или преобразованиями.

В частности, преобразование , которое сопоставляет каждой точке множества её саму или, что тоже самое,

для каждого ,

называется тождественным.

Это отображение имеет специальное обозначение: или, проще, (если из контекста понятно, какое множество имеется в виду). Такое обозначение обязано своим происхождением англ. слову identity («идентичность, тождественность»).

Другое обозначение тождественного преобразования — . Такое отображение является унарной операцией, заданной на множестве . Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют единичным.