Комплексные числовые ряды.

Ряд Тейлора

Определение

Пусть функция   бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки  . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции   в точке  .

[править]Связанные определения

• В случае, если  , этот ряд также называется рядом Макло́рена.

[править]Свойства

• Если   есть аналитическая функция в любой точке a, то её ряд Тейлора в любой точке   области определения   сходится к   в некоторой окрестности  .

• Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности  . Например, Кошипредложил такой пример:

У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке   равны нулю.

[Править]Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Пусть функция   имеет   производную в некоторой окрестности точки  ,  Пусть  Пусть   — произвольное положительное число, тогда:   точка   при   или   при  :

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Ряд Лорана

Необходимо перенести в эту статью содержимое статьи Теорема Лорана и поставить перенаправление. Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням  , то есть ряд вида

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

1.  — правильная часть ряда Лорана и

2.  — главная часть ряда Лорана.

При этом, ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части.

СвойстваПравить

• Eсли внутренность области сходимости ряда Лорана непуста, то она представляет собой круговое кольцо

• Во всех точках своего кольца сходимости   ряд Лорана сходится абсолютно;

• Как и для степенных рядов, поведение ряда Лорана в точках граничных окружностей кольца сходимости может быть самым разнообразным;

• На любом компактном множестве   ряд сходится равномерно;

• Сумма ряда Лорана в   есть аналитическая функция  ;

• Ряд Лорана можно дифференцировать и интегрировать в   почленно;

• Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если суммы двух рядов Лорана совпадают в  , то совпадают и все коэффициенты этих рядов.

• Коэффициенты   ряда Лорана определяются через его сумму   формулами

где  ,  ,   — любая окружность с центром a, расположенная внутри кольца сходимости.

ПрименениеПравить

Применение ряд Лорана основано главным образом на том (теорема Лорана), что любая однозначная аналитическая функция   в кольце

представима в   сходящимся рядом Лорана. В частности, в проколотой окрестности

изолированной особой точки a однозначная аналитическая функция   представима рядом Лорана, который и служит основным инструментом исследования ее поведения в окрестности изолированной особой точки