15. Понятие о параметрическом способе уравнивания.

Пусть измерено n величин. Получены значения l^/₁, l^/₂, …, l^/_n c весами соответственно p₁, p₂, … p_n.

Пусть выбраны необходимые неизвестные (параметры), уравненное значение которых обозначим через x, y, ….. w.

М ежду уравненным значением измеренной величины и искомыми неизвестными всегда можно найти связывающую их функцию

(12)

К примеру, в треугольнике измерены все три угла α, β и γ. Выберем в качестве необходимых углы α и β и обозначим их уравненное значение через x и y. Тогда для каждого измерения можно составить функцию

α + (α) = х,

β + (β) = y,

γ + (γ) = 180⁰ – x – y.

З апишем (12) в таком виде

Найдем x, y, …, w при условии [pv²] = min. Если функция F_i нелинейная, то ее нужно привести к линейному виду путем разложения в ряд Тейлора.

Для этого представим уравненные значения неизвестных в следующем виде

х = х₀+δх,

y = y₀+δy, (14)

…

w = w₀+δw.

Здесь х₀, y₀, …w₀ – приближенные, однако близкие к точным значения параметров, а δх, δy, …, δw – поправки к ним.

П ри разложении (13) в ряд получим

В ведем обозначения:

С учетом их запишем

(15)

Уравнение (15) называют парамет-рическим уравнением поправок. Частные производные a_i, b_i, … g_i вычисляют по приближенным значениям параметров х₀, y₀, …w₀. Общее число уравнений поправок равно числу измеренных величин n. Искомыми неизвестными в данном случае будут δх, δy, …, δw.

И сходя из принципа наименьших квадратов u = [pv²] = min, найдем частные производные и приравняем их к нулю

Находя аналогичные производные ….,

получим систему нормальных уравнений

В этой системе число уравнений равно числу неизвестных. Решив ее, найдем поправки к приближенным значениям параметров. Затем по формуле (14) и сами параметры. Поправки к измеренным величинам найдутся по формуле (15).

Параметрическим способом уравнивают обширные сети триангуляции и трилатерации, линейно-угловые и комбинированные построения.

18. Линейная засечка.

Задача линейной засечки заключает-ся в определении координат третьего пункта по координатам двух исходных пунктов и измеренным расстояниям от определяемого пункта до исходных (однократная засечка). Для контроля определения используют-ся координаты третьего исходного пункта и расстояния до него от опреде-ляемого. Даны координаты пунктов А, B, C. Измерены линии S₁, S₂, S₃. Требуется определить координаты точки P (X, Y). Рассмотрим однократную засечку с использованием пунктов А и В. 1. Решением обратной геодезической задачи определим дирекционный угол и длину линии АВ:

2 . Определим угол β₁, используя теорему косинусов:

3 . Определим дирекционный угол линии АР

4 . Определим координаты точки Р:

Д ля контроля решения задачи вычисляется длина линии ВР и сравнивается с измеренной

Расхождение не должно превышать 3-х единиц последнего знака в измеренном значении линии S₂. Для полного контроля определения вычисляется сторона СР и сравнивается с измеренной S₃

Допускается |СР–S₃| <6m_s

 где m_s–СКО измерения расстояний S₃.

Однако в целях повышения точности окончательных значений искомых координат задачу лучше решать дважды. При втором решении используют исходные пункты В, С и расстояния S₂, S₃. Допустимое расхождение в координатах определяют по формуле

В свою очередь

где М₁ и М₂ – СКО положения пункта Р, определенного линейной засечкой в первом и втором вариантах;

γ – угол засечки.

В еличину угла засечки (для первого решения) можно найти из выражения

З а окончательное значение координат пункта Р берут среднее арифметическое, которое будет иметь ошибку

17. Обратная засечка Сущность обратной засечки заключается в определении положения четвертого пункта (точки стояния) по трем исходным. Эта задача встречается при создании съёмочных сетей, привязке аэрофотоснимков, выносе проектов в натуру и других случаях. На основе трех исходных пунктов задача решается без контроля правильности измерения углов и выборки исходных данных. Поэтому на практике используют четыре исходных пункта. Точность определения положения пункта обратной засечкой зависит от ошибок измерения углов, ошибок исходных данных и взаимного расположения пунктов. Обратную засечку рекомендуется делать с предвычислением точности. Даны координаты пунктов А, B, C. Измерены углы β₁, β₂. Требуется определить координаты точки P (X, Y).

В начале решением обратных геодезических задач определим дирекционные углы и длины исходных линий:

Д алее задача сводится к определению углов φ и ψ. Определим полусумму углов φ и ψ, которую обозначим как А

О пределим полуразность этих углов, которую обозначим через В

О пределим диаметры описанных окруж-ностей около треугольников ABP и BCP:

В ыразим сторону ВР через Д₁, Д₂ и углы φ и ψ.

О ткуда

Р азделив две части этого равенства на Д₁sin ψ, получим

О бразуем пропорцию и введем обозначение N:

С учетом формул для определения Д₁ и Д₂

С учетом тригонометрических формул

О тсюда

Вычислив значения А и В, определим углы φ и ψ

φ = А+ В,

ψ = А – В.

Д алее определим длину линии АР

Координаты точки Р:

Д ля контроля координат точки Р можно вычислить второй раз, используя формулы

С реднюю квадратическую ошибку в положении пункта Р, определенного обратной засечкой, можно вычислить по формуле

где m_β – СКО измерения углов β₁ и β₂.

Рассмотренная обратная засечка по трем исходным пунктам называется однократной.

В таком виде она, как правило, не допускается, т.к. не контролируется правильность измерения углов и выписка исходных данных.

Для полного контроля наблюдается не 3, а минимум 4 пункта.

Задача решается дважды при различном сочетании исходных пунктов. Например, первый раз используются пункты А, В, С и второй раз пункты В, С, D. Для каждого варианта решения определяется СКО положения пункта М .

О жидаемое среднее квадратическое значение M_r расхождения в положении пункта Р при двух решениях составит

О тсюда допустимое расхождение в значениях вычисленных координат можно установить по формуле

где X^/ , Y^/ – координаты точки из 1-го решения;

X^// , Y^// – координаты точки из 2-го решения.

З а окончательное значение координат пункта Р берут среднее арифметическое, которое будет иметь ошибку