10. Допустимые размеры свободных членов условных уравнений

Размеры свободных членов условных уравнений зависят от точности полевых измерений, ошибок исходных данных и формы сетей.

Если ошибками исходных данных пренебречь, то невязки будут являться функциями измеренных величин:

w = f(l₁, l₂, … l_n).

П о правилам теории ошибок измерений

где f – частные производные (коэффициенты при поправках в условных уравнениях);

т – СКО измерений.

П ри равноточных измерениях

Принимая зависимость

Δ_пр = 2,5 m,

п олучим

С учетом ошибок исходных данных применительно к триангуляции предельные невязки найдутся по формулам

1 . Для полюсных условий

2 . Для условия сторон

3 . Для дирекционных углов

4 . Для условий фигур и горизонтов

В этих формулах:

т – СКО измерения угла по инструкции;

[δ²] – сумма квадратов коэффициентов δ;

m_s – СКО исходных сторон;

m_α – СКО исходных дирекционных углов;

n – число углов.

11. Сущность уравнивания геодезических измерений по методу наименьших квадратов.

Избыточные измерения приводят к многозначности решений. Если для вычисления одной и той же величины использовать разные измеренные величины, то ввиду погрешностей измерений получим разные результаты.

Чтобы ликвидировать многозначность решений и привести результаты измерений в соответствие с теорией в измеренные величины вводятся поправки. Исправление измеренных величин называется уравниванием.

Задача уравнивания заключается в том, чтобы, используя все измерения, получить однозначно наиболее надежное значение всех неизвестных величин и оценить их точность.

В общем виде уравненное значение измеренных величин получают по формуле

x_i=l_i+v_i, (1)

где l_i – результат измерения;

v_i – поправка.

При отсутствии систематических ошибок наиболее точные результаты достигаются при уравнивании по методу наименьших квадратов.

Если измерения равноточные, то поправки находятся под условием

[v²] = min, (2)

если измерения неравноточные, то под условием

[p v²] = min. (3)

Метод наименьших квадратов дает однозначное решение при нахождении поправок.

Наличие вторых степеней v_i ограничивает крупные поправки, поэтому при равноточных измерениях поправки распределяются более или менее равномерно.

При неравноточных измерениях веса p_i при v_i уменьшают поправки к более точным измерениям и увеличивают к менее точным.

Совместное уравнивание измерений нескольких величин по методу наименьших квадратов является задачей на условный экстремум. Для ее решения применяют два основных способа: Способ Лагранжа с неопределенными множителями (коррелатный способ). Способ абсолютного экстремума (параметрический способ).

12. Понятие о коррелатном способе уравнивания.Пусть измерено n величин, истинное значение которых Х₁, Х₂, …, Х_n. Обозначим результаты измерений через l₁, l₂, …, l_n. Если в числе измерений имеется r избыточных, то искомые неизвестные будут связаны r независимыми условиями

(4)

Здесь x₁, x₂, …, x_n уравненные значения измеренных величин. Выражения (4) называются условными уравнениями. Они могут быть в линейном и нелинейном виде.

Для приведения их к линейному виду необходимо заменить уравненные значения измеренными с поправками согласно (1), т.е. x_i=l_i+v_i и разложить каждую функцию в ряд Тейлора.

В результате получим условные уравне-ния поправок в следующем линейном виде

(5)

где a, b , … r – частные производные;

w – свободные члены (невязки).

Выражение (5) можно упростить

(6)

Особенность уравнений поправок в том, что число их меньше числа неизвестных (r < n). Поэтому система неопределенная, допускающая множество решений.

Рассмотрим решение задачи по определению поправок для случая равноточных измерений в соответствии с принципом [v²] = min, т.е. будем находить [v²] = min при условии (6).

Данная задача решается с помощью множителей Лагранжа.

С оставим функцию путем прибавления к [v²] левых частей уравнения (6), умножив каждое на неопределенный множитель –2k₁, –2k₂,…, –2k_r

(7)

Для нахождения минимума функции (7) находят частные производные и приравнивают к нулю. В результате получим n уравнений:

О тсюда получим уравнения поправок

(8)

Неопределенные множители k₁, k₂, …, k_r называются коррелатами. Чтобы по этим уравнениям найти поправки, нужно вначале определить эти коррелаты.

Подставляя выражения из (8) в услов-ные уравнения (5) для первого уравнения получим

а₁а₁k₁+a₁b₁k₂+…+a₁r₁k_r+

а₂а₂k₁+a₂b₂k₂+…+a₂r₂k_r+

+………+

+а_nа_nk₁+a_nb_nk₂+…+a_nr_nk_r+w₁=0,

или

 [aa]k₁+[ab]k₂+…+[ar]k_r+ w₁=0.

Делая аналогичную подстановку в остальные уравнения системы (5), получим систему нормальных уравнений коррелат в следующем виде

(9)

Коэффициенты [aa], [bb], …., [rr], распо-ложенные на главной диагонали, всегда положительны и называются квадратич-ными. Неквадратичные коэффициенты, расположенные симметрично относительно главной диагонали попарно равны между собой. Поэтому для краткости нормальные уравнения, обычно, записывают, начиная с квадратичных коэффициентов.

Решая систему (9) находят коррелаты, а затем, подставляя в уравнения поправок (8) находят поправки к измеренным величинам.

Для неравноточных измерений уравне-ния поправок имеют вид

(10)

Нормальные уравнения коррелат будут такими

(11)

В этих выражениях q – величина обратная весу измерения

Вывод аналогичен, только условие [v²] = min заменяется на [pv²] = min.