Математическое моделирование краевых задач методом конечных разностей
Универсальным численным методом решения граничных задач, в основе которых лежат дифференциальные уравнения n-го порядка, являются методы конечных разностей (сеток). Достоинство конечно-разностных методов состоит в том, что они сводят решение краевой задачи для дифференциального уравнения к решению системы алгебраических уравнений относительно значений искомой функции на заданном множестве точек. Это достигается путем замены производных, входящих в дифференциальное уравнение, их конечно-разностными аппроксимациями.
Рассмотрим идею конечно-разностных методов. Имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка, определенное на отрезке [a,b]
(1)
где p(x),q(x),f(x) - известные функции ;
граничные условия в общем виде выражаются следующим образом:
(2)
(3)
–заданные
постоянные, причем выполняется условие
.
Чтобы решить задачу (1)-(3) методом конечных разностей, необходимо выполнить следующее:
1.
Заменить область непрерывного изменения
аргумента дискретным множеством точек,
т.е. на отрезке [a,b]
строится сетка
,
где
–
узлы сетки
,
i=0,1,…,n;
точки
и
-
это граничные узлы сетки
,
все остальные узлы называются внутренними.
Величина
i=0,1,…,n-1
называется шагом сетки
.
Количество и расположение узлов сетки
выбирается в зависимости от требуемой
точности решения задачи, в частном
случае сетка выбирается равномерной,
т.е.
и
шаг сетки в этом случае выбирается как
h=(b-a)/n.
2.
Заменить (аппроксимировать на сетке)
дифференциальное уравнение (1) и граничные
условия (2)-(3) разностными уравнениями.
Для этого в каждом узле сетки
i
определяем
сеточную
функцию
заменяем
значения производной отношением конечных
разностей; переходим от непрерывного
дифференциального уравнения относительно
функции u=u(x),
(аргумент х
– непрерывен) к разностной задаче
относительно сеточной функции
.
в итоге граничная задача (1)-(3)
заменяется системой алгебраических
уравнений относительно сеточной функции
;
Эта система алгебраических уравнений
называется разностной схемой.
3. необходимо решить систему алгебраических уравнений относительно сеточной функции и тем самым найти таблицу значений этой сеточной функции, являющейся приближенным решением исходной краевой задачи.
Простейшим способом построения конечно-разностной системы алгебраических уравнений является замена производных через значения функции в узлах сетки. Такая замена может быть получена различными способами.
Например, известно, что из разложения функции u(x) в ряд Тейлора на равномерной сетке могут быть получены следующие соотношения:
(4)
- правая разностная схема с первым порядком аппроксимации по h
(5)
- левая разностная схема с первым порядком аппроксимации по h
(6)
- центральная разностная схема со вторым порядком аппроксимации по h. Вторую производную можно заменить в i-том узле сетки формулой второй разностной производной
(7)
со
вторым порядком аппроксимации по h.
Эти формулы приведены для равномерной
сетки. В общем случае порядок
аппроксимирующего выражения будет
зависеть от распределения узлов сетки
и гладкости функции. Будем предполагать,
что
,
выберем произвольный узел с номером
i=1,2,…,n-1
и воспользуемся соотношениями
(6) и (7). Запишем уравнение (1)
(8)
Приведем подобные, получим
(9)
или
(10),
где
,
Т.к.
узел сетки выбирался произвольно,
поэтому мы разностное уравнение
распространили на все внутренние узлы
сетки. Учтем, что для аппроксимации
выбирались конечно-разностные соотношения
второго порядка точности, т.е
.
Также будем предполагать , что
,
т.е. функцию правой части аппроксимируем
точно. Далее необходимо записать
конечно-разностную аппроксимацию
для граничных условий (2)-(3).
Воспользуемся соотношениями (4)-(5),
получаем
(11)
(12)
Преобразуем
(13)
(14)
Здесь
и
.
При достаточно малых h
можем отбросить погрешность аппроксимации
Ri,
i=0,1,2,…,n
и получим
конечно-разностную схему первого
порядка аппроксимации
(15)
(16)
(17)
Таким образом, решение краевой задачи для дифференциального уравнения (1)-(3) сведено к решению системы алгебраических уравнений (15)-(17). Такая система будет линейной или нелинейной в зависимости от того, линейно (или нелинейно) исходное дифференциальное уравнение.
О
близости задачи (15)-(17) к исходной задаче
(1)-(3) судят по норме вектора
.
Если норма этого вектора || R
|| ®0 при h®0,
то говорят, что построенная разностная
схема (15)-(17) аппроксимирует исходную
краевую задачу (1)-(3). Если при этом
выполняется условие
,
то говорят, что разностная задача
(15)-(17) аппроксимирует исходную
дифференциальную задачу (1)-(3) с
погрешностью k-го
порядка относительно h.
В рассмотренном случае имеем погрешность
первого порядка, т.к. граничные условия
заменялись соотношениями первого
порядка аппроксимации. Для повышения
порядка аппроксимации достаточно более
точно заменить первые производные на
концах отрезка
и
.
Например, можно использовать следующие
формулы:
(18)
(19)
Соотношения (15)-(17) представляют собой систему алгебраических уравнений, число которых совпадает с числом неизвестных. Решив эту систему, найдем приближенное решение исходной задачи (1)-(3).
Мы рассмотрели алгоритм метода сеток. При его использовании всегда возникают следующие вопросы:
1) Существует ли решение системы алгебраических уравнений вида (15)-(17);
2) Какими методами стоит находить это решение;
3) Сходится ли в какой-либо норме полученное решение разностной задачи (15)-(17) к точному решению исходной задачи (1)-(3) при стремлении шага сетки к нулю h®0.
Доказательство существования единственного решения системы (15)-(17) основывается на том, что исходная задача (1)-(3) была линейной и для ее аппроксимации использовались также линейные соотношения. Следовательно, полученная система уравнений (15)-(17) также является линейной с трехдиагональной матрицей. Известно, что при выполнении условия диагонального преобладания элементов этой матрицы, решение системы существует и является единственным. Решается такая система методом прогонки. Эти вопросы рассматривались в курсе Численных Методов Алгебры.
Что
касается сходимости решения, то в
общем случае по погрешности аппроксимации
нельзя сделать вывод о погрешности
решения. Однако, доказывается, что, если
функция q(x)=0,
а p(x), f(x)
являются дважды непрерывно дифференцируемыми
функциями и граничные условия
являются краевыми условиями первого
рода, то при h®0
разностное решение равномерно сходится
к точному со скоростью
.
Для оценки сходимости полученного решения в общем случае необходимо провести расчеты для различных значений шага (не менее 3) и убедиться, что в одних и тех же узлах полученные значения сеточной функции близки между собой.
Метод конечных разностей используется также для граничных задач с нелинейным дифференциальным уравнением. Алгоритм применения метода сеток при этом не изменяется, но мы получим нелинейную систему алгебраических уравнений. Для решения такой системы необходимо использовать итерационные методы. Можно также использовать метод линеаризации, т.е. сведение решения нелинейной системы к решению последовательности систем линейных алгебраических уравнений.
Для нелинейной задачи на основе обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка также рассматривается вопрос ее аппроксимации разностной задачей, исследуется вопрос погрешности такой аппроксимации, порядка аппроксимации и возможности повышения порядка аппроксимации. Если исследовать устойчивость полученной разностной схемы сложно, то следует провести расчет на нескольких сетках с различными шагами. Если при убывании шага сетки h все разностные решения близки между собой и стремятся к некоторому пределу со скоростью, соответствующей порядку точности схемы, то это является свидетельством хорошей устойчивости.