14. Математическое моделирование нелинейных задач

1. Физическая интерпретация задачи

Рассмотрим медленное течение вязкопластичной жидкости, т.е.

Re <<1 – отношение инерционных и вязких сил.

число Рейнольдса

1. Можно пренебречь когнитивными и стохастическими свойствами;

2. Жидкость несжимаема, гравитационными силами можно пренебречь.

Течение протекает в области сужения двух пластин R1 к R2.

Течение протекает в изотермических условиях.

В качестве реологического уравнения (связь между направление и деформацией ) применяется в рамках обобщённой модели Шульмана.

Увеличение скорости течения жидкости при переходе из участка трубы с большей площадью поперечного сечения в участок трубы с меньшей площадью поперечного сечения означает, что жидкость движется с ускорением.

Согласно второму закону Ньютона, причиной ускорения является сила. Этой силой в данном случае является разность давления, действующих на текущую жидкость в широкой и узкой частях трубы. Следовательно, в широкой части трубы давление жидкости должно быть больше, чем в узкой.

2. Математическая постановка задачи

В основу математической модели движения вязкопластической среды будем включать уравнение Стокса и уравнение неразрывности. Гравитационными силами пренебрегаем.

(1)

где

- эффективная вязкость

= - тензор скоростей деформации

- второй инвариант тензора напряжения

– интенсивность деформаций

n, m – показатель нелинейности реологической модели

- предел текучести

р – гидродинамическое давление

Для декартовой системы координат система уравнений (1) примет вид

Уравнение (4) – закон сохранения массы (уравнение неразрывности)

Систему уравнений замыкают следующие граничные условия, учитывая, что функции u, , p являются четными, то достаточно рассмотреть половину области.

Г1: u_y = 0

Г2: u_х= u_у = 0

Г3: du_x/ x=0 u_y = 0

Г4: u_y = 0 u_x/ y=0

Потеря давления (поправка Куэтта)

(5)

Численное решение задачи

Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела (сопромата), теплообмена, гидродинамики и электродинамики.

На начало решения имеем следующую систему уравнений:

Для каждого из уравнений перенесем правую часть влево

Теперь проинтегрируем каждое из этих уравнений по объему, домножив на соответствующую весовую функцию.

Отложим пока полученную систему и перейдем к выбору элемента, который будем использовать при решении задачи. Этим элементом будет двумерный симплекс-элемент (треугольник).

k

=3

*

j

i

*

*

(10) - интерполяционный полином

=1

=2

* - давление P

; ; , где

Данный элемент обладает одним постоянным на протяжении всего объема элемента давлением, поэтому необходимо рассмотреть лишь одну точку, находящуюся, например, посередине элемента. Каждый из узлов, в свою очередь, обладает скоростью, раскладывающейся на компоненты по x и по y, что в итоге дает нам 7 уравнений для элемента.

Теперь необходимо выбрать весовую функцию для данного элемента. В методе Галеркина:

при α = β

Домножим теперь полученную ранее систему уравнений на эту весовую функцию:

В данной формуле – тензора напряжений по осям, равные произведению эффективной вязкости на проекции векторов скорости:

Теперь, учитывая, что и , подставляем тензора в систему уравнений:

Теперь необходимо собрать элементную матрицу жесткости. Для этого заменим коэффициенты перед U, V и P их обозначениями.

Собрав матрицу, получим:

Наличие индексов в матрице говорит о том, что на самом деле уравнений не 3 а 7 – по два уравнения (для U и V компонент скорости отдельно) для каждого узла элемента, и одно уравнение для давления в центре данного элемента.

Теперь необходимо пояснить, как именно рассчитываются эти 49 элементов. Общее правило здесь таково – эти части элементной матрицы являются частями площади поверхности конечного элемента, соответственно мы берем интеграл по поверхности:

В формуле – площадь треугольника, поэтому она сокращается с одной из A в знаменателе.

В общем случае для всех элементов:

Коэффициенты a, b и c выражаются через координаты вершин элемента.

Итоговая матрица будет выглядеть следующим образом:

Сборка глобальной матрицы производится поэлементно. Для каждого из элементов необходимо сопоставить его локальную нумерацию узлов с глобальной нумерацией.

4(3)

1(1) 2(2)

Затем для каждого из элементов локальной матрицы необходимо найти его позицию в глобальной матрице. Строка глобальной матрицы будет соответствовать глобальной нумерации. Например, для элемента (3) глобальный номер будет 4й. Столбец определяется правилом умножения матриц, во время которого помещенный в глобальную матрицу коэффициент должен перемножаться на то же неизвестное, на которое он перемножался в локальной матрице.

Учет граничных условий производится путем умножения необходимых коэффициентов глобальной матрицы жесткости на очень большое число. Это делается для того чтобы повысить их «вес» при решении системы.

Последним шагом глобальная матрица жесткости решается методом Гаусса, что позволяет найти неизвестные U, V и P. Итерации повторяются до тех пор, пока разница между каждой из переменных на текущем шаге и соответствующей ей переменной на предыдущем шаге не будет менее e=10^-2 по условию задач