Моделирование движения вязкой жидкости
Появление вычислительных машин в 60-х годах прошлого столетия стимули- ровало развитие вычислительных методов в естественных науках, инженерных дис- циплинах и в управлении. Система уравнений Навье-Стокса, описывающая такие задачи, обладает рядом специфических особенностей, которые про- являются в численной реализации независимо от формы их записи. В частности, та- кие особенности системы, как нелинейность, высокий порядок и существование раз- рывных решений, делают вычислительный метод наиболее предпочтительным мето- дом исследования.
Для расчета неустановившихся течений вязкой жидкости создано большое чис- ло численных методов. Наибольшее распространение получили методы конечных разностей, конечных и граничных элементов, а также метод контрольных объемов. Данные методы принадлежат классу сеточных. В области изменения независимых переменных вводится сетка – дискретная совокупность узловых точек. Вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются конечномерные сеточные функции, значения которых задаются в узловых точках сетки. Все эти методы обладают одним общим недостатком. На каж- дом временном шаге сетка, на которой строится решение, не теряет свою узловую связность, что, в свою очередь, при больших деформациях жидкости может быстро приводить к ее вырожденности.
С ростом производительности компьютеров развитие получили бессеточные методы, которые аппроксимируют уравнения в частных производных, основываясь только на наборе узлов, без знания дополнительной информации о структуре сетки. В таких методах отношение соседства частиц не фиксировано и может со временем из- меняться, то есть частицы, бывшие соседями в начальный момент времени, могут со временем расходиться достаточно далеко друг от друга. Характерными представите- лями этой группы методов являются метод сглаженных частиц (SPH – Smoothed Particle Hydrodynamics), полунеявный метод движущихся частиц (MPS – Moving Particle Semi-implicit), метод Лагранжево-Эйлеровых частиц, метод точечной интер- поляции (PIM – Point Interpolation Method). Данные методы позволяют достаточно точно воспроизводить кинематику течений, однако полученные динамические харак- теристики, необходимые для расчета гидродинамических нагрузок, являются неточ- ными. К общим недостаткам бессеточных методов также можно отнести и сравни- тельно невысокую точность, и трудность введения граничных условий.
Эти обстоятельства заставили исследователей искать новые методы, сочетаю- щие в себе идеи и возможности бессеточного подхода, но вместе с тем обладающие достоинствами сеточных методов. Первыми из бессеточных методов нового поколе- ния появились бессеточный метод конечных элементов (MFEM – Meshless Finite Element Method) и метод естественных соседей (NEM – Natural Element Method). Осо- бенность методов NEM и MFEM в том, что для стационарных задач они являются
обычными (классическими) методами Галеркина, то есть являются сеточными. Для нестационарных задач, в которых применяется Лагранжев подход к описанию изу- чаемого процесса, на каждом шаге по времени по найденному на предыдущем шаге положению узлов строится новая сетка, определяющая новую структуру соседей для каждой узловой точки области. На вновь построенной сетке аппроксимированная система уравнений снова решается методом Галеркина. В силу этого методы NEM и MFEM сохраняют некоторые преимущества классического метода Галеркина, а именно простоту функций формы в области определения, непрерывность между эле- ментами, легкость введения граничных условий. При этом имеют все достоинства бессеточных методов, так как функции формы метода естественных соседей зависят только от положения узловых точек.
Гидродина́мика — раздел физики сплошных сред, изучающий движение идеальных и реальных жидкости и газа. Как и в других разделах физики сплошных сред, прежде всего осуществляется переход от реальной среды, состоящей из большого числа отдельных атомов или молекул, к абстрактной сплошной среде, для которой и записываются уравнения движения.
Простейшей моделью вязкопластичной жидкости является модель Шведова-Бингама, линейно сочетающая предельное напряжение сдвига и вязкость.
Реалогический закон Шведова-Бингама для пластичных сред можно обобщить на случай сложного деформирования:
Где
- интенсивность тензора скоростей
деформации, или
Вычислим интенсивность тензора напряжений:
Аналогично строится модель течения для жидкости Оствальда де-Виля.
,
где
τij,
–
компоненты тензоров напряжений и
скоростей деформаций, η – пластическая
вязкость среды, А
– интенсивность скоростей деформаций),
при n>1
- дилатантная жидкость, n<1
– псевдопластичная жидкость.
Предельное напряжение сдвига впервые было обнаружено русским ученым Ф.Н. Шведовым у растворов желатина, а затем американским ученым Ю. Бингамом у масляных красок, которые до этого считались ньютоновскими жидкостями.
Реологический закон Шведова — Бингама для пластичных сред можно обобщить на случай сложного деформирования с учетом того, что при τ0 = 0 соответствующее соотношение должно совпадать с ньютоновскими законом.
В силу отсутствия деформаций при напряжениях меньших τ0 можно окончательно записать реологическое уравнение Шведова — Бингама для пластических сред при наличии и при отсутствии деформаций:
Где
-
интенсивность тензора скоростей
деформации.
В силу отсутствия деформаций при напряжениях меньших τ0 можно окончательно записать реологическое уравнение Шведова — Бингама для пластических сред при наличии и при отсутствии деформаций:
Дальнейшее обобщение реологической модели вязкопластичной жидкости возможно с учетом нелинейности кривой течения. Достаточно общим законом является следующий:
Этот закон, который является обобщением законов Оствальда — де Виля и Шведова — Бингама, был предложен советским ученым З.П. Шульманом.
При моделировании peoдинамических процессов в нелинейно-вязкопластичных жидкостях является важным выбор вида уравнения, описывающего зависимость скорости деформации сдвига в каждой точке среды от напряжения сдвига в данной точке (реологическое уравнение состояния). В настоящей работе в качестве реологического уравнения используется обобщенная четырехпараметрическая модель, впервые предложенная Шульманом З.П. в 1966 в работах.
Данная модель сочетает пластичные и вязкие свойства текучих сред. Она допускает явное выражение динамических переменных через кинематические и наоборот, что создает определенные удобства и преимущества оперирования моделью в инженерных расчетах процессов течения. Модель Шульмана является достаточно универсальной и обобщает почти все основные классические реологические модели неупругих сред (Ньютона, Сен-Венана, Шведова-Бингама, Балкли-Гершеля, Бриана, Оствальда-де Виля, Кэссона и др.).