5.4.1. Осевое нагружение элемента конструкции

Применение теоремы о минимуме потенциальной энергии будет проиллюстрировано на примере осевого нагружения элемента конструкции, показанного на фиг. 5.2. Осевое перемещение изменяется линейно от нуля на закрепленном конце до величины A — PL/AE на нагруженном конце. В этой формуле Р — нагрузка, L длина, А — площадь поперечного сечения детали конструкции, Е — модуль упругости материала.

С помощью метода конечных элементов определим перемещение на нагруженном конце стержня. Решение задачи при этом начинается с выбора модели для перемещения. Эта модель зависит от типа выбранного элемента.

Рис. 5.2. Осевое нагруженне детали конструкции.

Мы будем использовать один линейный одномерный элемент, поэтому

Так как U должно равняться нулю на закрепленном конце, вышеприведенное уравнение сводится к следующему:

Потенциальная энергия определяется формулой

Интегральное слагаемое представляет энергию деформаций, тогда как член вида PU₂ выражает работу приложенной силы. Компонента тензора напряжений а_хх связана с компонентой тензора деформаций e_хх законом Гука а_хх = Е e_хх, поэтому выражение (5.56) может быть записано в виде

где dV—Adx. Предполагается, что площадь поперечного сечения детали конструкции постоянна по длине.

Деформация ехх связана с перемещением соотношением гХх —du/dx. Дифференцирование выражения (5.55) дает

Потенциальная энергия системы теперь выражается следующим образом:

Минимизация П по U₂ приводит к уравнению

Решая уравнение (5.60), получаем

что совпадает с теоретическим значением. Теоретическое значение в рассматриваемом случае было достигнуто благодаря выбору модели перемещения, точно соответствующей физической задаче; перемещение изменяется линейно как в модели, так и в реальной физической задаче.

5.4.2 Общий случай

Энергия деформации бесконечно малого объема dV дается формулой

где {е}—-полная деформация, а {ео}—начальная деформация. Величина dh. называется плотностью энергии деформации, а полная энергия деформации получается интегрированием этой величины по объему тела:

Вид векторных столбцов {е} и {а} зависит от того, какая задача решается. Например, для двумерного случая плоской деформации эти вектор-столбцы имеют вид

В основе курса теории упругости [5] лежат два важных соотношения: закон Гука, который связывает компоненты тензоров напряжений и деформаций, и соотношения связи между деформациями и перемещениями. Закон Гука в общей форме имеет вид

где [D] содержит упругие константы материала. Соотношения связи между деформациями и перемещениями записываются как

где и, v и w — компоненты перемещений в направлении координатных осей х, у и z соответственно. Эти компоненты перемещений были выражены в гл. 3 через узловые значения следующим образом:

Здесь [N]—матрица функций формы (3.24). С помощью формул (5.65) можно выразить вектор деформации {е} через узловые перемещения {U}. Общая форма этих соотношений такова:

Здесь [В]—матрица, получаемая дифференцированием надлежащим образом матрицы [N]. Фактические значения коэффициентов матрицы [В] зависят от вида используемого элемента и от типа рассматриваемой задачи. Поэтому точное определение [В] будет отложено до рассмотрения конкретных примеров.

Энергия деформации A(е) отдельного элемента с помощью формул (5.64) и (5.67) может быть записана в следующем виде:

Последнее слагаемое в (5.68) не зависит от узловых значений {U}, поэтому оно не влияет на процесс минимизации и в дальнейших ссылках на (5.68) не будет приниматься во внимание.

Работа, совершаемая внешними силами, может быть разделена на три различные части: работа Wc, совершаемая сосредоточенными силами, работа Wp, которая получается в результате действия компонент напряжений на внешней стороне поверхности, работа Wb, совершаемая массовыми силами.

Работу сосредоточенных оил легко определить, если в каждой точке приложения сосредоточенной силы поместить узел. Работа сосредоточенной силы равна произведению величины этой силы на длину пути, на котором эта сила действует. Таким образом, работа отдельной силы равна P*U. Обозначая узловые силы через {Р}, а узловые перемещения через {U}, совершенную работу можно записать в виде произведения матриц:

Это определение предполагает, что силы разложены на компоненты, параллельные компонентам перемещений. Эта часть полной работы не входит в сумму (5.54), так как рассмотренные силы сосредоточены в узлах.

Работа объемных cил x, y, z дается формулой

где u, v и w — компоненты вектора перемещений внутри элемента по осям х, у и z соответственно. Интеграл здесь необходим, так как и, v и w вместе с x, y и z могут изменяться внутри элемента. Используя равенство (5.66), формулу (5.70) можно переписать в виде

Работа поверхностных сил определяется следующим образом:

где u, v и w — компоненты вектора перемещений, а рх, ру и рz — компоненты .вектора напряжений, параллельные координатным осям х, у и z.

Сравнение формул (5.72) и (5.70) показывает, что они идентичны по форме. Поэтому

Используя формулы (5.54), (5.68), (5.69), (5.71) и (5.73), получаем выражение для полной потенциальной энергии:

Чтобы минимизировать величину П, продифференцируем выражение (5.74) по {U} и приравняем (результат нулю. Эту операцию можно выполнить, используя дифференциальные соотношения Б1 и Б2. В результате будем иметь

Интегралы в формуле (5.75) определяют для каждого элемента вектор нагрузки {fe} и матрицу жесткости (kj), которые можно объединить следующим образом:

Уравнение (5.76) очень похоже на уравнение (5.44). В рассматриваемом случае [ke] — объемный интеграл вида

Матрица жесткости элемента (5.77) не содержит поверхностный интеграл, который встречается в задачах теории поля. Объемный интеграл в формуле (5.77) по форме идентичен объемному интегралу в (5.45), хотя числовые значения [B(е)] и [D(е)] совершенно разные в этих двух случаях.

Глобальная матрица жесткости [К] и глобальный вектор-столбец {F} в матричном уравнении