21. Математическое моделирование уравнения теплопроводности с использованием мко 15-17

21. Уравнения Коши для задач теории упругости

38-48

21. Построение алгоритма решения задачи гидродинамики в переменных вихрь-функция тока

Рассмотрим в области G нестационарную систему уравнений Навье-Стокса, описывающую плоское движение вязкой однородной несжимаемой жидкости. В большинстве случаев данную систему записывают в переменных «функция тока – вихрь» и на каждом шаге по времени решают сначала линеаризованное уравнение переноса вихря для , затем уравнение Пуассона для функции тока . Преимуществом такой постановки задачи является относительная простота реализации численного алгоритма. Однако такому подходу присущи и существенные недостатки: во-первых, на каждом временном шаге приходится решать два уравнения, одним из которых является уравнение Пуассона; во-вторых, возникают проблемы, связанные с постановкой краевых условий для вихря .

Менее популярными являются методы решения системы уравнений Навье-Стокса, записанной только относительно функции тока . Преимуществом такого подхода является отсутствие каких-либо существенных проблем постановки краевых условий для функции тока . Однако в этом случае на каждом дискретном временном шаге необходимо решать системы линейных или нелинейных алгебраических уравнений.

Уравнение Пуассона для функции тока:

Один из путей определения давления Р является вывод уравнения Пуассона для давления. Для этого систему уравнений представим в двумерном виде:

Продифференцируем уравнение (5) по х а уравнение (6) по у и сложим их:

Для рассматриваемой области граничные условия для давления берем из уравнения (5) путем его проекции:

Если мы установим граничные условия 2-го рода на всех границах, то ядро уравнения Пуассона будет вырожденным. Для того, чтобы исключить неопределенность, необходимо задать давление в одной точке области, либо на выходе. При граничных условиях (8) очень медленно сходится. Другой путь определения давления это введение искусственной сжимаемости:

Решение задачи можно представить в следующем виде: 1)выбор метода решения(метод конечных разностей), 2)построение конечно-разностной сетки в расчетной области, 3)получение дискретных аналогов задачи. Из дискретного аналога ур-я (5) находим компоненту вектора скорости Ux, из ур-я (6) Uy. Численный алгоритм определения давления возможен 2-мя способами. По найденному полю вектора скорости из дискретного аналога ур-я (7) с граничными условиями (8) определяем поле давления в расчетной области. Либо по найденному поля скорости из дискретного аналога ур-я (9) определяем поле давления в расчетной области. Однако, второй путь сопряжен с трудностями в определении искусственной сжимаемости. Задача заключается в следующем – нужно подобрать такой коэффициент искусственной сжимаемости, чтобы приводил дискретный аналог к 0. Если для ур-ний 4,5,6 введем масштабы

и подставим эти выражения в ур-я 5,6, получим:

Вывод приведенных параметров очень важен для анализа задачи, а также при физическом моделировании или при сравнении своих результатов с экспериментальными данными, в этом случае Re выступает как число подобия. Если Re >2300-2500, то течение становится турболизированным. Если Re<<1, вязкость увеличивается, то нестационарными членами можно пренебречь:

Ур-я 11 и 4 представляет собой ур-е Стокса. Если присутствуют силы тяжести, то:

Или в безразмерном виде:

Рассматриваемую задачу 4,5,6 с граничными условиями в расчетной области можно привести к подстановке переменных вихрей функции тока. Для этого подставим (1) в ур-е 5,6(в векторной форме).

Или иначе, продифференцируем ур-е (5) по у, а ур-е 6 по х и вычтем одно из другого: