Виды граничных условий и их численная реализация мкр
Виды граничных условий и их численная реализация мко
Виды граничных условий и их численная реализация мкэ
МКЭ применим только к конечной или ограниченной области.
ТРИ ОСНОВНЫХ ТИПА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
1) Краевая задача с граничными условиями первого рода (задача Дирихле):
Требуется найти решения уравнения в некоторой области пространства, которое принимает на границе области заданные значения
В качестве примера можно привести задачу о нахождении стационарного распределения температуры внутри области, если задана температура на границе этой области.
Пример задачи Дирихле (внутренняя и внешняя):
Уравнение Лапласа внутри круга с заданными значениями решения на границе:
2) Краевая задача с граничными условиями второго рода (задача Неймана)
Требуется найти решение уравнения в некоторой области пространства, на границе которой внешняя нормальная производная:
Например, предположим, что тепловой поток на границе круга изменяется по закону:
Тогда стационарное распределение температуры внутри круга является решением краевой задачи:
В
этой задаче поток тепла через границу
направлен внутрь при
и
наружу при
Задача Неймана (для уравнения Лапласа) имеет смысл только в том случае, когда полный поток тепла через границу равен 0. Математически это значит, что на границе должно выполняться соотношение:
Иначе задача не будет иметь решения.
Например, задача Неймана:
Не имеет физического смысла, поскольку постоянный единичный поток внутрь области не может обеспечить стационарность решения.
Еще одна особенность задачи Неймана – это не единственность решения.
Если мы имеем одно из решений нашей задачи Неймана, то, прибавляя к нему произвольную константу, получится другое решение. По этой причине для выделения единственного решения нужно иметь дополнительную информацию (например, знать значение решения в одной точке).
3) Краевые задачи с граничным условием третьего рода (задача Робена): Требуется найти такое решение уравнения в некоторой области пространства, которое удовлетворяет на границе условию вида:
Где h – заданная константа, а g – заданная функция, которая, вообще говоря, меняется вдоль границы.
Т.е. поток, втекающий в область через границу пропорционален разности между температурой u и некоторой заданной температурой g. Это означает, что (при h>0)
1) если температура u на границе выше температуры окружающей среды на границе g, то тепло вытекает из области.
2) если u меньше температуры g , то тепло втекает в область
Конечно, это все подчиняется закону теплообмена Ньютона.
Эффективные численные методы решения разреженных систем алгебраических уравнений стр 53
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении переменных.
когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Пусть исходная система выглядит следующим образом
Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.
Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):
При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных [3].
Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.
