14. Моделирование краевых задач в механике деформирования твердого тела 32-38 046-049

14. Непрерывно-детерминированные модели+

Рассмотрим особенности Непрерывно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математических моделей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной или несколько переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных порядков. Если неизвестные — функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных, в противном случае при рассмотрении функции только одной независимой переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Основные соотношения. Обычно в таких математических, моделях в качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, служит время t. Тогда математическое соотношение для детерминированных систем

(2.6)

в общем виде будет

(2.7)

г де

и

- n-мерные векторы; f(y,t)- вектор-функция, которая определена на некотором (n + 1)-мерном (y,t) множестве и является непрерывной. Т. К. математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы, т. е. ее поведение во времени, то они называются D-схемами (англ. dynamic). В простейшем Случае обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид Наиболее важно для системотехники приложение D-схем в качестве математического аппарата в теории автоматического управления. Для иллюстрации особенной построения и применения D-схем рассмотрим простейший пример формализации процесса функционирования двух элементарных систем различной физической природы: механической S_м (колебания маятника, Рис. 2.1, а) и электрической S_к (колебательный контур, рис. 2.1, 6). Процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным диф-м уравнением:

г де m_м, lм — масса и длина подвеса маятника; g — ускорение свободного падения; Ө(t) — угол отклонения маятника в момент времени t. Из этого уравнения свободного колебания маятника можно найти оценки интересующих характеристик. Например, период колебания маятника

Аналогично, процессы в электрическом колебательном контуре описываются обыкновенным дифференциальным уравнением

Где L_k, C_k - индуктивность и ёмкость конденсатора; q(t)- заряд конденсатора в момент времени t. Из этого уравнения можно получить различные оценки характеристик процесса в колебательном контуре.

Например, период характеристических колебаний Введя обозначения h₀=m_Ml²_M=L_k, h₁=0, h₂=m_Mgl²_M=1/C_k, Ө(t)=q(t)=z(t) получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее доведение этой замкнутой системы:

(2.9)

где h₀, h₁, h₂ - параметры системы; z(t) - состояние системы в момент времени t. Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели (2.9). Кроме того, необходимо отметить, что поведение одной из систем может быть проанализировано с помощью другой.

Например, поведение маятника (S_M системы ) может быть изучено с помощью электрического колебательного контура (S_k системы). Если изучаемая система S, т. е. маятник или контур, взаимодействует с внешней средой Е, то появляется входное воздействие х(t) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура) и непрерывно-детерминированная модель такой системы будет иметь вид

С точки зрения общей схемы математической модели является входным, (управляющим) воздействием, а состояние системы S в данном случае можно рассматривать как выходную характеристику т. е. полагать что выходная переменная совпадает с состоянием системы в данный момент времени у = z. Возможные приложения. При решении задач системотехники важное значение имеют проблемы управления большими системами. Следует обратить внимание на системы автоматического управлении - частный случай динамических систем, описываемых D-схемами и выделенных в отдельный класс моделей в силу их практической специфики.

Использование D-схем позволяет формализовать процесс функционирования непрерывно-детерминированных систем S и оценить их основные характеристики применяя аналитический или имитационный подход, реализованный в виде соответствующего языка для моделирования непрерывных систем или использующий аналоговые и гибридные средства вычислительной техники.

14. Моделирование НДС упругого тела

15. Математическ ое моделирование задач фильтрации

14. Метод контрольного объема при решении уравнения Пуассона 15-17

14. Метод конечных разностей при решении уравнения Пуассона. Сходимость и устойчивость метода img036

14. Основные этапы решения краевых задач методом конечных элементов. Алгоритмы сборки глобальной матрицы жесткости 32-45

21. МКР при построении численного решения нестационарных математических моделей

нестационарная модель, модель с переменными коэффициентами

img036

21. Сохранение массы вещества

Закон сохранения массы —масса как мера количества вещества сохраняется при всех природных процессах, то есть несотворима и неуничтожима.

Уравнение непрерывности

Это уравнение – следствие закона сохранения массы вещества. Выберем

некоторый объем V0 (Рис. 1.1). Масса жидкости в этом объеме

21. Математическое моделирование задач вязкопластических течений

В основу математической модели движения вязкопластической среды будем включать уравнение Стокса и уравнение неразрывности. Гравитационными силами пренебрегаем.

(1)

где

- эффективная вязкость

= - тензор скоростей деформации

- второй инвариант тензора напряжения

– интенсивность деформаций

n, m – показатель нелинейности реологической модели

- предел текучести

р – гидродинамическое давление

Для декартовой системы координат система уравнений (1) примет вид

Уравнение (4) – закон сохранения массы (уравнение неразрывности)

Систему уравнений замыкают следующие граничные условия, учитывая, что функции u, , p являются четными, то достаточно рассмотреть половину области.

Г1: u_y = 0

Г2: u_х= u_у = 0

Г3: du_x/ x=0 u_y = 0

Г4: u_y = 0 u_x/ y=0

Потеря давления (поправка Куэтта)

(5)