16 Билет .

Величина 

Называется Кинетической энергией матери­альной точки,

а произведение  — работой силы на перемеще­нии  .

Изменение кинетической энергии материальной точки рав­но работе действующей на нее силы. 

Если элементарная работа силы является дифференциалом некоторой функции

Кинетическая энергия твердого тела.

1.      Поступательное движение тела.

Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении вычисляется так же, как и для одной точки,

у которой масса равна массе этого тела., - скорость любой точки твердого тела

2.      Вращение тела вокруг неподвижной оси.

Кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине произведения

момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.

, - угловая скорость вращения твердого тела.

3.      Плоское движение тела.

Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из кинетической энергии тела вместе

с центром масс и кинетической энергии тела от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и

перпендикулярной плоскости движения..

, - скорость центра масс твердого тела, - угловая скорость вращения твердого тела.

Вращательное движение. Если тело вращается вокруг какой-нибудь оси Оz (см. рис.46),

то скорость

любой его точки  , где  - расстояние точки от оси вращения, а - угло­вая скорость тела.

Подставляя это значение и вынося общие множители за скобку, получим:

Величина, стоящая в скобке, представляет собою момент инерции тела относительно оси z. 

Таким образом, окончательно найдем:

т. е. кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине

произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой

скорости. От направления вращения значение Т не зависит.

Рис.46

 

При вращении тела вокруг неподвижной точки кинетическая энергия определяется как (рис.47)

 

или, окончательно,

,                        

где I_x, I_y, I_z – моменты инерции тела относительно главных осей инерции x₁, y₁, z₁  в неподвижной

точке О ;   ,  _,   – проекции вектора мгновенной угловой скорости   на эти оси.

Рис.47

 

Плоскопараллельное движение. При этом движе­нии скорости всех точек тела в каждый

момент

времени распреде­лены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной к

плоскости движения и проходящей через мгновенный центр ско­ростей Р (рис.46).

Следовательно

,

где  - момент инерции тела относительно названной выше оси, - угловая скорость тела.

Величина   в формуле будет перемен­ной, так как положение центра Р при движе­нии тела

все время меняется. Введем вместо   постоянный момент инерции  , относительно оси,

проходящей через центр масс С тела. По теореме Гюйгенса  , где d=PC. 

Подставим это выражение для  . Учитывая, что точка Р -мгновенный центр скоростей, и,

следовательно,  , где  - скорость центра масс С, окончательно найдем:

.

Следовательно, при плоскопараллельном движении кинетиче­ская энергия тела равна энергии

поступательного движения со скоростью центра масс, сло­женной с кинетической энергией

вращательного движения вокруг центра масс.

4) Для самого общего случая движения материальной системы кинетическую энергию помогает

вычислить теорема Кенига.

Рассмотрим движение материальной системы как сумму двух движений (рис.48).

Переносного – поступательного движения вместе с центром масс С и относительного – движения

относительно поступательно движущихся вместе с центром масс осей x₁, y₁, z_1. 

Тогда скорость точек  . Но переносное движение – поступательное.

Поэтому переносные скорости всех точек равны, равны  . Значит,   и кинетическая энергия

будет

 

Рис.48

 

По определению центра масс его радиус-вектор в подвижной системе  

 (центр масс находится в начале координат), значит, и  .

Производная по времени от этой суммы также равна нулю:

.

Поэтому, окончательно, кинетическая энергия системы

                                        (1)

Кинетическая энергия материальной системы равна сумме кинетической энергии при

поступательном движении вместе с центром масс и кинетической энергии ее при движении

относительно координатных осей, поступательно движущихся вместе с центром масс.

В общем случае движения тела, которое можно рассматривать как сумму двух движений

(переносного – поступательного вместе с центром масс С и относительного – вращения вокруг

точки С), по теореме Кенига (1) получим

   или    ,

где I_x, I_y, I_z – главные центральные оси инерции тела.

17 билет.

Закон сохранения механической энергии.

Пусть все силы, действующие на систему, будут потенциальными. Тогда для каждой точки

k системы работа равна

Тогда для всех сил, как внешних, так и внутренних будет

где   - потенциальная энергия всей системы.

Подставляем эти суммы в выражение для кинетической энергии (19.2.3):

или окончательно:

При движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной

энергии системы в каждом ее положении остается величиной постоянной. Это закон

сохранения механической энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии мех. сис.

Установим зависимость между изменением кинет. энергии мех. сис. и работой приложенных к её точкам сил.

Для этого разделим силы .действующие на точки М_1, М_2, М₃, …, М_n, на внешние силы P₁^E_,  Р₂^Е, …, Р_i^E, …, Р_n^Е и

внутрение силы P₁^J, P₂^J, P_i^J, …, P_n^J. Применим к движению каждой точки М_i теорему об изменении кинетической

энергии. Предположим, что при перемещении механической системы из первого положения во второе каждая точка

М_iперемещается из М_i(1) в M_i(2), причём скорость её изменяется от υ_i(1) до v_i(2)  (рис.).

Тогда по уравнению mυ₂²/2 — mυ₁²/2 = ∑ A_i для каждой материальной точки

(m_iυ_i² ₍₂₎ / 2) — (m_iυ_i² ₍₂₎ / 2) = A_i^E + A_i^J _, (i = 1, 2, …, n),

где A_i^E - работа силы Р_i^E  и A_i^J _­- работа силы P_i^J  на перемещении М_i(1)  M_i(2). Просумируем левые и правые части

составленных n равенства: (∑(m_i^υ2_i / 2))₂ — (∑(m_i­­υ_i² / 2))₁ = ∑A_i^E + ∑A_i^J.

Согласно T = ∑T_i, (∑(m_iυ_i² / 2)) = T₁ — кинетическая энергия системы в первом её положении; (∑(m_iυ_i² / 2))₂ = T₂ —

кинетическая энергия системы во втором положении. Таким образом,

T₂ - T₁ = ∑A_i^E  + ∑A_i^J. (a)

Уравнение (a) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы: изменение

кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и

внутрених сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещение.

Cумма работ внутрених сил твёрдого тела на любом перемещении равна нулю, т.е. ∑A_i^J = 0.

Для твёрдого тела уравнение (a) принимает вид

T₂ - T₁ = ∑A_i^E,

т.е. изменение кинетической энергии твёрдого тела на некотором перемещении равно сумме работ внешних сил,

действующих на тело на этом перемещении.