Теорема Гюйгенса-Штейнера

Основная статья: Теорема Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласнотеореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

где m— полная масса тела.

Вопрос 11

Теорема об изменении количества движения:

- Материальной точки

Количество движения материальной точки – векторная величина Q, равная произведению массы m и скорости V

Q=mV

F=ma=m(dV/dt)=dmV/dt=dQ/dt

dQ=Fdt – импульс силы

Теорема: (в дифференциальной форме): Производная за временем от количества движения материальной точки равняется геометрической сумме действующих на точки сил (в интегральной форме): Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени.

Следствия:

Если сумма внешних сил=0 то Q=const

Также и с проекциями на x y z

- Механической системы

Q=mV_c V_c-скорость центра масс

Теорема:

центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равняется массе системы, и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему

Следствия:

Если сумма внешних сил=0 то mV_c=const

Также и с проекциями на x y z

Вопрос 12

Момент количества движения

- точки

L= r x Q векторное произведение, где Q=mV

L₀=L_x(Q)+L_y(Q)+L_z(Q)

L_x(Q)….- моменты количества движения относительно x y z

dL₀(Q)/dt=M₀(F) M₀(F)= r x F

- мех системы

L₀=L_xi+L_yj+L_zk

L_x=ΣL_x(Q_v) также для y z

- тела

dL₀= r x dQ dm=ƍdV

L₀=предел по элементам dm, dQ=>0(Σ r x dQ)=тройной интеграл по объему(r x ƍVdV)

Кинетический момент при поступательном движении

L₀=r_c x Q

Вращающегося тела

L_ось=I_осьw_ось

Вопрос 13

Теорема об изменении кинетического момента мех системы

Производная кинетического момента по времени равна геометрической сумме момента относительно центра приложенных всех внешних сил

dL₀/dt=ΣM₀(F_v^(e))

следствие: если сумма момента внешних сил=0 то Lo=const также и для x y z

Вопрос 14

ДУ поступательного движения:

  – проекция внешней силы

Все точки тела движутся так же, как и его центр масс С. Для осуществления поступательного движения необходимо:  =0.

ДУ вращательного движения:

, J_z – момент инерции тела относительно оси вращения z, – момент внешних сил относительно оси вращения (вращающий момент)

15 Билет.

Работа силыМерой действия силы при превращении механического движения в другую форму движения являетсяработа силы.

Работа постоянной по модулю и направлению силы F на прямолинейном перемещении s ее точки приложения равна

Если угол  α  острый, то работа силы положительна, если тупой – отрицательна.

Если направления силы и перемещения совпадают (α=0), то A = Fs;

Если направление силы перпендикулярно направлению перемещения (α=90◦), то А = 0;

Если направление силы противоположно направлению перемещения (α=180◦), то A = -Fs.

Мощность

Мощностью называется работа, совершаемая силой в единицу времени.

Средняя мощность Рср силы F за время Δt на перемещении Δs, с которым сила образует угол α, определяется по формуле

Переходя к пределу при стремлении рассматриваемого промежутка времени к нулю, получаем истинную мощность:

Мощность измеряется в единицах работы, отнесенных к единице времени.

За единицу мощности принят ватт (Вт) — мощность, соответствующая работе в один джоуль в секунду

, 

Потенциальная энергия

Потенциальной энергией силы тяжести материальной точки или тела в механике называется способность этого

тела или точки совершать работу при опускании с некоторой высоты до уровня моря (до какого-то уровня).

Потенциальная энергия численно равна работе силы тяжести, произведенной при перемещении с нулевого уровня до заданного положения.

Обозначив потенциальную энергию    получим

где G — сила тяжести точки (или тела); Н — высота центра тяжести от нулевого уровня.

Элементарная работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся

относительно неподвижной оси вращения на элементарный угол поворота тела:

δA =Mz dϕ

Если M z = const, то

A1−2= Mz (ϕ1 –ϕ)

N= δ A/dt= FV

т.е. мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости

точки ее приложения. Единица измерения мощности – ватт ( I Вт = I Дж/c).

N = M z ω.