Дифференциальные уравнения движения механической системы

Для каждой точки механической системы можно составить дифференциальные уравнения движения по правилам динамики точки. Составляя дифференциальные уравнения в векторной форме, получаем

Эти уравнения называются векторными дифференциальными уравнениями движения механической системы.

Проектируя эти уравнения на координатные оси Oxyz, обычных (скалярных) дифференциальных уравнения движения

Если все действующие силы поделены на активные силы и реакции связей, то правые части векторных уравнений (равнодействующие сил, приложенных к отдельным точкам системы), имеют вид

где Fk — равнодействующая всех активных сил, приложенных к  материальной точке системы,  — то же самое для реакций связей. При делении сил на внешние и внутренние эти же силы выражаются так:

Как реакции , так и внутренние силы  наперед неизвестны, и с этим связаны большие трудности в определении движения системы посредством интегрирования ее дифференциальных уравнений движения. Лишь если эти силы удается исключить из уравнений движения, появляется возможность сформулировать некоторые общие закономерности, которым подчиняется движение системы.

10.

Центр масс

Центр масс, центр инерции, геометрическая точка, положение которой характеризует распределение масс в теле или механической системе. Координаты Ц. м. определяются формулами

,  , 

или для тела при непрерывном распределении масс

 ,   , 

где

 mк — массы материальных точек, образующих систему,

 xk, ук, zk — координаты этих точек,

 М =Smк —масса системы,

r — плотность, 

V — объём. 

Центр масс тела

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:

где

 — радиус-вектор центра масс,

 — радиус-вектор i-й точки системы,

 — масса i-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

где:

 — суммарная масса системы,

 — объём,

 — плотность.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

где:

• mi — масса i-й точки,

• ri — расстояние от i-й точки до оси.

Момент инерции тела относительно оси вращения  зависит от массы тела и от распределения этой массы. Чем больше масса тела и  чем дальше она отстоит от воображаемой оси, тем большим моментом инерции обладает тело. Момент инерции элементарной (точечной) массы mi, отстоящей от оси на расстоянии ri, равен:

Момент инерции всего тела относительно оси равен:

или, для непрерывно распределенной массы: