1.5.4. Частотные методы анализа качества
На основании интеграла Фурье оригинал выходной переменной имеет вид
.
Однако использовать данную интегральную зависимость можно только тогда, когда все полюса Y(j) лежат в левой полуплоскости. Если ко входу системы приложено единичное воздействие, то в изображении Y(j) может появиться однократный полюс на мнимой оси (p1 = 0). В связи с этим используем изображение Карсона − Хевисайда:
.
Оригинал y(t) на основании изображения по Карсону − Хевисайду:
.
(1.233)
Комплексную функцию (j) можно записать в виде
,
(1.234)
которая совпадает с вещественной и мнимой частями частотной передаточной функции замкнутой системы W(j).
Установившееся значение выходной переменной необходимо исключить из подынтегральной функции и определяется при подстановке в (p) значения p = 0:
.
(1.235)
В результате будем использовать следующую интегральную зависимость
.
(1.236)
Используем
формулу Эйлера
и, ограничиваясь интегрированием по
положительным частотам, имеем:
.
(1.237)
Если
заменить в (1.237) t на
t,
то
,
следовательно:
.
(1.238)
Совместное решение (1.237) и (1.238) позволяет находить переходную функцию на основе частотных характеристик:
;
(1.239)
.
(1.240)
1.5.5. Оценка качества по показателю колебательности
Частотные критерии качества особенно удобно применять при использовании частотных методов расчета. Частотные методы наиболее разработаны в отношении оценки запаса устойчивости. Запас устойчивости можно определить по удалению амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы от точки (−1; j0). Обычно оценивают запас устойчивости по амплитуде (модулю) и запас устойчивости по фазе.
Для оценки запаса устойчивости вместо двух показателей можно использовать один критерий, который назван показателем колебательности. Показателем колебательности называется значение ординаты Mmax амплитудной характеристики замкнутой системы при начальной ординате, равной единице (рис. 1.19.).
W3(jω)
Mmax
ω
Рис. 1.19. Частотная функция замкнутой системы
Если имеем гармонический управляющий сигнал g(t) = gmax sin t, то выходной сигнал меняется по закону y(t) = ymax sin(t + ). Отношение амплитуд ymax и gmax определяется модулем частотной передаточной функции замкнутой системы:
.
(1.241)
Максимальное значение этого модуля
.
(1.242)
Чем меньше запас устойчивости, тем больше склонность системы к колебаниям и тем выше резонансный пик частотной характеристики. В хорошо демпфированных системах автоматического управления показатель колебательности находится в диапазоне 1.1−1.5.
Отыскать показатель колебательности можно и без амплитудной частотной характеристики замкнутой системы. Для этой цели выполним преобразование уравнения (1.229):
.
Сделаем подстановку: U = ReW(j) и V = ImW(j). Получим следующее выражение для M:
.
(1.243)
Возводя в квадрат левую и правую части (1.232), получим
.
(1.244)
Это выражение преобразуется в уравнение окружности со смещенным центром и радиусом R:
,
(1.245)
где
;
(1.246)
.
(1.247)
Задаваясь различными значениями M от 1 до , можно построить семейство таких окружностей. При M = 1 окружность вырождается в прямую линию, параллельную мнимой оси V и проходящую через точку (−0,5) вещественной оси U.
В тех же координатах, где построены окружности, соответствующие разным M, наносится амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы. Окружность, которая коснется амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы, и определяет показатель колебательности M замкнутой системы.