1.5.2. Коэффициенты ошибок

Пусть разность между внешним воздействием f(t) и вынужденной составляющей выхода системы y_в(t) есть вынужденная ошибка:

. (1.220)

С учетом (1.214) перепишем (1.220)в виде:

. (1.221)

Если обозначить:

(1.222)

то можно переписать (1.221) в форме

. (1.223)

Коэффициенты C(k) называют коэффициентами ошибок и с учетом выражения (1.205) записывают

. (1.224)

Коэффициенты ошибок C(k) равны k-м производным от передаточной функции ошибки при p = 0.

Коэффициенты ошибок полностью определяют зависимость вынужденной ошибки от структуры системы автоматического управления. Если воздействие f(t) есть величина постоянная, т. е.

, (1.225)

то вынужденная ошибка, согласно (1.209), равна

. (1.226)

Эта ошибка называется установившейся или статической. Видно, что величина статической ошибки пропорциональна величине постоянного внешнего воздействия. Системы автоматического управления, имеющие статическую ошибку, называются статическими. Системы автоматического управления с коэффициентом C(0), равным нулю, называются астатическими. Статическая ошибка системы равна нулю, когда равна нулю передаточная функция по ошибке при p = 0.

1.5.3. Косвенные показатели качества

Корневые методы. Характер переходного процесса зависит как от знаменателя, так и от числителя передаточной функции. Поэтому полный анализ качества может быть произведен лишь на основе анализа распределения не только полюсов передаточной функции, но и ее нулей. Однако такой оценки качества еще не найдено. Наиболее исследована связь количественных показателей системы с распределением полюсов передаточной функции замкнутой системы вида

.

Важно знать область расположения корней характеристического уравнения:

.

Согласно теореме Какейя, если все коэффициенты a_i положительны и все отношения последующего коэффициента к предыдущему заключены между положительными числами m и M:

, (1.227)

то модули всех корней заключены также между числами m и M. Среди корней можно выделить ближайший к мнимой оси комплексной плоскости. Вещественная часть этого корня получила наименование степени устойчивости. Корни характеристического уравнения, расположенные ближе всего к мнимой оси, определяют время затухания переходного процесса. Если ближайший к мнимой оси корень является вещественным, например , то составляющая переходного процесса с этим корнем будет иметь вид

. (1.228)

Положив в конце переходного процесса y_(t_p) =  C_, где  = 0,01  0,05, можно получить приближенную оценку времени переходного процесса t_p в зависимости от степени устойчивости :

. (1.229)

Если пара комплексных корней   j находится к мнимой оси ближе остальных корней, то в этом случае можно найти верхнюю границу переходного процесса:

. (1.230)

Сравнительной оценкой быстроты протекания переходных процессов для систем управления одинаковой размерности и с отличающимися значениями коэффициентов характеристического уравнения служит среднегеометрический корень:

. (1.231)

Во сколько раз ₀ одной системы больше среднегеометрического корня сравниваемой системы, во столько раз быстрее будет протекать переходный процесс. Из этого условия следует, что для повышения быстродействия системы следует увеличивать коэффициент a_n.

Наряду с оценкой быстродействия системы управления можно, на основе корней характеристического уравнения, получить и некоторые другие показатели качества.

Пусть пара комплексных корней   j наиболее близки к мнимой оси и определяют характер переходного процесса y(t) = Ce^tsin(t + ).

При некотором времени t₁ амплитуда будет равна , а через один период . Тогда затухание переходного процесса определится как

. (1.232)

Если передаточная функция замкнутой системы имеет кроме полюсов и нули:

,

то можно привести общие рекомендации относительно их влияния на качество. Если область расположения нулей удалена от области расположения полюсов, то это ведет к увеличению амплитуд собственных колебаний в переходном процессе. Для уменьшения отклонений в переходном процессе часто бывает выгодно удалять полюсы друг от друга. Если полюса расположены далеко от мнимой оси, то их сближение существенно не влияет на качество переходных процессов.