1.4.4. Устойчивость систем автоматического управления со звеньями запаздывания

Пусть система управления имеет структуру, изображенную на рис. 1.16.

Рис. 1.16. Структурная схема системы со звеном запаздывания

Передаточные функции системы имеют выражение:

Передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы имеют соответственно вид

, (1.190)

. (1.191)

Характеристическое уравнение системы

(1.192)

является трансцендентным, что делает невозможным использование алгебраических критериев.

Частотные критерии устойчивости применимы к системам запаздывания. При использовании критерия Найквиста построение частотного годографа системы выполняют в два этапа. На первом этапе строится частотная характеристика W₁(j). На втором этапе каждый вектор этого годографа поворачивается по часовой стрелке на угол  и таким способом строится амплитудно-частотная характеристика W_p(j).

Если система устойчива в разомкнутом и замкнутом состоянии, то частотный годограф W_p(j) не охватывает точку (1, j0).

Если увеличивать значения , то можно найти критическое значение _кp, при котором W_p(j) пройдет через точку (1, j0).

При использовании критерия Михайлова, в характеристический полином

(1.193)

вместо e^j подставляют функции:

. (1.194)

1.4.5. Устойчивость систем автоматического управления с иррациональными звеньями

В системах с иррациональными звеньями передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

. (1.195)

Для системы управления со структурой (см. рис. 1.16.) передаточная функция замкнутой системы:

. (1.196)

Обозначим

,

тогда характеристическое уравнение имеет вид

A() = 0. (1.197)

Для устойчивости данных систем, согласно И.А. Брин необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения

A() = 0

лежали вне сектора величиной 90^, расположенного в правой полуплоскости комплексной переменной  симметрично относительно действительной оси (рис. 1.17).

Рис. 1.17. Расположение корней  в комплексной плоскости

Заштрихованная область соответствует области устойчивости корней .

Такое условие не позволяет применять алгебраические критерии устойчивости. Частотные критерии Михайлова и Найквиста применимы к системам данного класса. При этом по критерию Михайлова должен рассматриваться годограф вектора при 0   < . Для устойчивой системы кривая Михайлова будет обходить n/2 квадрантов, где n – степень полинома A(). При использовании критерия Найквиста, условия устойчивости системы те же, что и для других классов линейных систем.

1.4.6. Сверхустойчивость линейных непрерывных систем

Понятие сверхустойчивости линейных систем предложено Б.Т. Поляком в 2001 г. и позволяет использовать отличный от ранее рассмотренного математический аппарат для анализа систем управления. Для вектора переменных x  Rⁿ в качестве нормы возьмем оценку

, (1.198)

а для связанной с вектором x матрицы A = (a_ij)  R^nn используем оценку

. (1.199)

Предложено матрицу А называть сверхустойчивой, если у нее на диагонали стоят отрицательные числа и они по абсолютной величине превосходят сумму модулей неозначенных недиагональных элементов по строке

. (1.200)

Величину (А) предлагается называть степенью сверхустойчивости. Линейную систему управления вида

, (1.201)

имеющую сверхустойчивую матрицу А, будем называть сверхустойчивой.

Сверхустойчивые системы управления составляют отдельный подкласс внутри семейства устойчивых систем.

Основное свойство сверхустойчивых систем описывается следующей теоремой. Если система (1.201) сверхустойчивая, то при u(t) = 0 справедлива оценка

(1.202)

при и (1.203)

; (1.204)

при и любом Х₀

, (1.205)

где (α)₊ = max{0,α}.

Из условия (1.204) следует, что у сверхустойчивой системы существует функция Ляпунова, которая не является квадратичной .

Эта функция является кусочно-линейной и не дифференцируемой, выпуклой, т.к. V(x) ≥ 0.

Функция υ(t) =V(x(t)) имеет левые и правые производные , , причем:

, . (1.206)

Таким образом ∞-норма вектора состояний убывает монотонно.