1.4.3. Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии устойчивости основаны на графоаналитических методах, использующих частотные характеристики для оценки месторасположения полюсов характеристического уравнения системы управления. Широкое распространение получили критерии устойчивости Найквиста и Михайлова.

Критерий Найквиста известен с 1932 г., когда было предложено судить об устойчивости замкнутой системы по амплитуднофазовой характеристике W_p.c(j) разомкнутой системы.

Пусть система замкнута единичной отрицательной обратной связью. Тогда передаточная функция замкнутой системы равна

.

Характеристический полином для замкнутой системы равен

1 + W_p.c(p).

Пусть

,

где R(p) = b₀p^m + … + b_m; Q(p) = c₀pⁿ + … + c_n, m  n.

Рассмотрим функцию

. (1.175)

В выражении (1.175) числитель соответствует характеристическому полиному замкнутой системы, а знаменатель есть характеристический полином разомкнутой системы. Степени числителя и знаменателя (1.175) одинаковы и равны n.

Расположим в правой части плоскости p комплексной переменной замкнутый контур C, на границе которого функция W_p.c(p) не имеет полюсов (рис. 1.12). В соответствии с теоремой Коши

, (1.176)

где N – число нулей, а S – число полюсов, которые функция 1 + W_p.c(p).

имеет внутри контура C (обход по контуру происходит в направлении движения часовой стрелки).

Нулями функции 1 + W_p.c(p) являются корни характеристического уравнения

Q(p) + R(p) = 0,

а полюсами – корни характеристического уравнения разомкнутой системы

Q(p) = 0.

Отобразим конформно контур C на плоскость передаточной функции W_p.c(p)  W_p.c(j). Выражение (1.176) примет вид

. (1.177)

Рис. 1.12. Расположение нулей и полюсов системы

При движении по мнимой оси в плоскости p от jR до +jR аргумент p принимает чисто мнимые значения, которые соответствуют p  j.

При переносе этой фазы движения на плоскость W_p.c(j) происходит движение по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы от точки A(p = jR) до точки . Обходу по дуге полуокружности контура C соответствует движение по ответвлению r'.

Если увеличивать R до бесконечности, то с учетом порядка степени R(p) и Q(p) имеем:

(1.178)

При беспредельном увеличении R ответвление контура r' стягивается в точку W()на действительной оси (в начало координат при m < n).

Обходу всей правой полуплоскости p соответствует обход по всей частотной характеристике W_p.c(j) в плоскости W_p(p). Если W_p(p) не имеет полюсов на мнимой оси, то W_p(j) при изменении  от  до + образует замкнутый контур Г и точки W_p(0) и W_p() этого контура лежат на действительной оси.

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы число нулей N (число правых корней Q(p) + R(p) = 0) было равным нулю. Тогда условием устойчивости является равенство

, (1.179)

где S – число правых корней уравнения

Q(p) = 0.

Представим 1 +_W_p в виде

. (1.180)

Тогда

.

Откуда

, (1.181)

или

. (1.182)

Формула (1.182) выражает критерий Найквиста: приращение аргумента функции 1 + W_p(p) устойчивой системы при обходе контура C по часовой стрелке равно числу правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы, помноженному на 2.

Геометрическое изображение частотной характеристики в плоскости W_p позволяет сказать в этом случае, что функция 1 + W_p(j) изображается вектором, начало которого находится в точке (1, j0), а конец расположен на амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы. Если при вещественных коэффициентах полиномов R(p) и Q(p) характеристика W_p(j) симметрична относительно действительной оси, то рассматривают обход не по всему замкнутому контуру, а по его половине, для  > 0. Тогда перепишем (1.182):

. (1.183)

С учетом приведенных выражений принято считать, что для устойчивого движения замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при возрастании  от 0 до  вектор 1 + W_p(j), скользящий своим концом по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы, повернулся вокруг точки (1, j0) в направлении по часовой стрелке S/2 раз, где S – число правых корней разомкнутой системы. Если разомкнутая система устойчива и S = 0, то суммарный поворот вектора 1 + W_p(j) должен быть равным нулю. В этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы точка (1, j0) находилась вне контура амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.

Критерий Найквиста требует знания значений числа S правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Кроме того, для сложных неодноконтурных систем бывают самопересечения амплитудно-фазовых характеристик.

Поэтому для многоконтурных систем управления целесообразнее использовать другие критерии, например, критерий Михайлова.

При наличии самопересечений характеристики W_p(j) предложены правила подсчета оборотов вокруг точки (1, j0). Переход характеристики W_p(j) через действительную ось слева от точки (1, j0) назовем положительным, если он происходит с верхней полуплоскости на нижнюю, и отрицательным – наоборот. Если характеристика начинается на действительной оси при  = 0 или заканчивается на ней при  = , то принято считать, что она совершает половину оборотов.

С учетом принятых условий замкнутая система устойчива, если разность между числами положительных и отрицательных переходов характеристики W_p(j) через отрезок [, 1] при изменении  от 0 до  будет равна S/2.

При наличии в разомкнутой системе l интегральных звеньев полином A(p) принимает форму

A(p) = p^lA_l (p),

где A_l (p) – полином, не имеющий нулевых корней. В этом случае W_p(p) имеет в начале координат нулевой полюс кратности l. Чтобы удалить этот корень с контура C, обойдем начало координат по дуге малого радиуса r (рис. 1.13.). Функцию W_p(p) в окрестности этого полюса можно записать, как … = R₀e^jl. В плоскости W_p(p) началу координат плоскости p соответствуют две уходящие в бесконечность ветви характеристики W_p(j). Полуокружность малого радиуса r в плоскости p отображается в плоскости W_p(p) в l полуокружностей радиусом R₀, обходимых по часовой стрелке. Таким образом, если нулевой полюс имеет кратность l, то ветви характеристики W_p(j) следует замкнуть по часовой стрелке l полуокружностями бесконечно большого радиуса.

J

C

P

R

r

W_p(p)

Рис. 1.13. Характеристики системы, имеющей интегральные звенья

в разомкнутой системе

Критерий устойчивости Михайлова основан на исследовании характеристического полинома (1.170) в частотной области. При подстановке p = j получим характеристический полином

A(j) = Re() + jIm(), (1.184)

где вещественная часть Re() будет содержать четные степени , а мнимая часть Im() – нечетные степени .

Изменяя частоту  от 0 до  в комплексной плоскости Re и Im, можно построить график, который называется годографом Михайлова. Для определения связи годографа Михайлова с вещественными корнями характеристического полинома представим его в виде произведения сомножителей

A(j) = a₀ (j  p₁)( j  p₂ )… (j  p_n), (1.185)

где p₁, p₂, …, p_n – корни характеристического уравнения.

Каждая из скобок представляет собой комплексное число. Следовательно, A(j) представляет собой произведение n комплексных чисел. При перемножении аргументы комплексных чисел складываются. Поэтому результирующий угол поворота вектора A(j) при изменении  от 0 до  будет равен сумме углов поворота отдельных сомножителей (1.186).

 = ₁ + ₂ + … + _n. (1.186)

Определим каждое слагаемое (1.186) в отдельности.

Пусть какой-либо корень, например p₁, является отрицательным (вещественным) и равен ₁ при ₁ > 0. Тогда сомножитель в уравнении (1.185) будет иметь вид (₁ + j).

Построим годограф этого вектора в плоскости Re(), Im() для [0, ] (рис. 1.14.).

Рис. 1.14. Годограф вектора на комплексной плоскости

Если бы корень p₁ имел противоположный знак, то результирующий угол поворота ₁ = /2.

Пусть два корня p₂ и p₃ есть комплексные сопряженные величины с отрицательной вещественной частью

p_2,3 =   j.

Сомножители в выражении (1.186), определяемые этими корнями, имеют вид

(  j + j) ( + j + j).

Углы поворота при изменении  от 0 до  будут иметь следующий вид (рис. 1.15):

Рис. 1.15. Годограф двух векторов на плоскости

Вектор, соответствующий произведению (  j + j)( + j + j) повернется на угол

.

На основании полученных результатов можно сказать, что для устойчивой системы n-го порядка при изменении  от 0 до  аргумент годографа Михайлова повернется на угол

. (1.187)

Это условие устойчивости было сформулировано А.В. Михайловым в 1936 г. Если угол поворота вектора A(j) равен

, (1.188)

то характеристическое уравнение содержит l корней с положительной вещественной частью.

Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого соответствует степени характеристического уравнения.

При подсчете результирующего угла поворота  для устойчивой системы следует знать, что при четной степени уравнения кривая Михайлова уходит в бесконечность параллельно оси Re(), а при нечетной степени – параллельно оси Im().

В случае когда система управления находится на границе устойчивости, возможны два основных варианта поведения кривой Михайлова.

В первом случае в характеристическом полиноме a_n = 0, и тогда годограф Михайлова начинает движение из начала координат.

Во втором случае характеристический полином превращается в нуль при определенной частоте ₀, и тогда

A_p(j₀) = Re(₀) + jIm(₀) = 0. (1.189)

Откуда

Re(₀) = 0;

Im(₀) = 0.

При этом условии кривая Михайлова в процессе движения при частоте проходит через начало координат. Частота ₀ есть частота незатухающих колебаний системы.