1.4.2. Алгебраические критерии устойчивости
Алгебраические критерии представляют математическое выражение необходимых и достаточных условий отрицательности вещественных частей всех корней уравнения n-й степени с постоянными вещественными коэффициентами
A(p) = a0pn + a1pn1 + … + an1p + an = 0. (1.170)
Так как эти же условия необходимы и достаточны для устойчивости линейной стационарной системы с сосредоточенными параметрами, имеющими характеристическое уравнение вида (1.170), то условия, предложенные Раусом, Гурвицем, называют условиями устойчивости линейных систем. Эти условия выражаются с помощью алгебраических неравенств, содержащих значения коэффициентов уравнения (1.170). Они позволяют установить положение корней полинома A(p) в комплексной плоскости p = + j относительно мнимой оси без вычисления значений корней.
При работе с полиномом (1.170) будем его приводить к виду, когда a0 > 0.
Критерий Рауса. Для того чтобы все корни полинома (1.170) были левыми, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
,
(1.171)
где
;
(1.172)
при четном
n;
при
нечетном
n.
Приведенные составляющие неравенств можно представить в виде табл. 1.3.
Таблица 1.3
Таблица Рауса
r |
№ строки |
№ столбца |
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
||
a0 |
a2 |
a4 |
a6 |
… |
||
a1 |
a3 |
a5 |
a7 |
… |
||
|
1 |
c11 = a2 – r1a3 |
c12 = a4 – r1a5 |
c13 = a6 – r1a7 |
… |
… |
|
2 |
c21 = a3 – r2c12 |
c22 = a5 – r2c13 |
c23 = a7 – r2c14 |
… |
|
|
3 |
c31 = c12 – r3c22 |
c32 = c13 – r3c23 |
… |
… |
|
|
4 |
c41 = c22 – r4a32 |
… |
… |
… |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если использовать таблицу, то после заполнения 1-го столбца можно сказать, что для устойчивой системы все числа в этом столбце должны быть одного знака, и с учетом условия a0 > 0 они должны быть положительными. Эти условия устойчивости линейных систем произвольного характера были найдены Е. Дж. Раусом в 1877 г. Работа Рауса осталась невостребованной и незамеченной современниками. В 1895 г. профессор Гурвиц предложил свой критерий устойчивости, который как раз оказался замеченным.
Критерий Гурвица основан на составлении n-определителей 1, 2, …, n с помощью коэффициентов уравнения (1.170). Для того чтобы все корни уравнения (1.170) были левыми, необходимо и достаточно, чтобы при a0 > 0 все определители Гурвица были положительны. Для формирования определителей Гурвица составим матрицу следующего вида:
.
(1.173)
На основании данной матрицы формируются определители Гурвица следующим образом:
;
;
;
(1.174)
и т. д.
Нахождение определителей Гурвица высоких порядков непосредственным разложением их по элементам строки или столбца сопряжено с большим числом вычислений.
Сравнивая между собой критерии по трудоемкости расчетов, можно признать, что критерий Гурвица удобно применять для решения уравнений не выше четвертой степени. Для более высоких степеней предпочтительнее использовать критерий Рауса.
Обращение в нуль определителей Гурвица свидетельствует о появлении чисто мнимых корней. Число правых корней равно числу перемен знака определителей Гурвица. Число перемен знака среди элементов первого столбца таблицы Рауса равно числу правых корней уравнения (1.170).