35.Основные понятия дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ.

Дисперсионный анализ – анализ изменчивости признака под влиянием каких-либо контролируемых переменных факторов.

 

Однофакторный дисперсионный анализ используется в тех случаях, когда есть в распоряжении три или более независимые выборки, полученные из одной генеральной совокупности путем изменения какого-либо независимого фактора, для которого по каким-либо причинам нет количественных измерений.

Пусть результаты наблюдений составляют l независимых выборок (групп), полученных из нормальных совокупностей , которые имеют, вообще говоря, различные средние значения a_1,a_2,…,a_l и равные дисперсии .Соответственно объемы выборок n₁, n₂, …, n_l, - общее число наблюдений. Проверяется гипотеза Н₀: a₁=a₂=…=a_l.

Для l = 2 используются рассмотренные ранее критерии значимости.

Если l > 2, то для проверки гипотезы о равенстве l средних применяют однофакторный дисперсионный аналіз.

Суть однофакторного дисперсионного анализа заключается в следующем:

обозначим x_ik - i-й элемент k-ой выборки , , - выборочное среднее k-ой выборки , ,

- общее выборочное среднее, .

Основное тождество дисперсионного анализа записывается так:

Запишем его в виде:

Q= Q₁+Q₂ ,

где Q- общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего,

Q₁- сумма квадратов отклонений выборочных средних от общего среднего,

Q₂- сумма квадратов отклонений наблюдений от групповых средних,

Q  0 , Q₁  0, Q₂  0

Рассматривается статистика ,

имеет распределение Фишера с (l-1)(n-l) степенями свободы.

Если выполняется неравенство ,

то Н₀ гипотеза принимается на уровне значимости .

36.Двухфакторный дисперсионный анализ.

Одной из используемых моделей данных в дисперсионном анализе является двухфакторная модель. Она состоит в учёте систематических и случайных ошибок в определении измеряемых параметров.

Пусть с помощью методов   производится измерение нескольких параметров, чьи точные значения —  . В таком случае, результаты измерений различных величин различными методами можно представить как:

,

где:

•  — результат измерения  -го параметра по методу  ;

•  — точное значение  -го параметра;

•  — систематическая ошибка измерения  -го параметра по методу  ;

•  — случайная ошибка измерения  -го параметра по методу  .

Тогда дисперсии случайных величин  ,  ,  ,   (где:

) выражаются как:

и удовлетворяют тождеству:

Двухфакторная схема позволяет лишь обнаружить систематические расхождения, но непригодна для их численной оценки с последующим исключением из результатов наблюдений. Эта цель может быть достигнута только при многократных измерениях.

1 Выборочное среднее, кроме того, можно вычислить еще по формуле: где

2 Стьюдент (Student) [псевдоним Уильяма Сили Госсета (Gosset W.S., 1876–1937)] ― английский математик и статистик.

3 Пирсон Карл (Чарлз) [Pearson Karl (Cyarles), 1857–1936] ― английский математик, биолог и философ.

4 Например, для нормального распределения ― два параметра: математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение