29. Статистическая проверка гипотез (гипотеза, статистическая гипотеза, нулевая и конкурирующая гипотезы, ошибка первого и второго рода).

Критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения называется критерием согласия. Имеется несколько критериев согласия: (“хи-квадрат”) Пирсона, Колмогорова, Смирнова и другие. Мы ограничимся описанием применения лишь критерия Пирсона³ (сравнения эмпирических и теоретических частот), который (как и любой другой) не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает на определенном уровне значимости, ее согласие или несогласие с данными наблюдений. Следует заметить, что на практике все чаще начинают применять критерии согласия не столько для проверки согласия экспериментальных данных с некоторой гипотетической функцией, сколько для подбора наилучшей функции распределения, хотя выбор подходящего закона должен основываться, прежде всего, на понимании механизма изучаемого явления. При проверке гипотезы о виде распределения с помощью критерия согласия Пирсона следует придерживаться следующей схемы: 1. По выборке из генеральной совокупности сформулировать нулевую гипотезу о предполагаемом законе распределения. 2. Вычислить параметры этого закона. 3. Вычислить теоретические частоты (30) где — объём выборки, — вероятности, вычисляемые по соответствующей формуле этого закона. 4. Найти наблюдаемое значение критерия (31)где — эмпирические частоты. 5. При заданном уровне значимости и числе степеней свободы , где — число групп выборки, — число параметров распределения⁴ (число параметров, оцениваемых по выборке) находят табличное значение 6. Если то нулевую гипотезу принимают. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо. Если же то нулевую гипотезу о предполагаемом законе распределения отвергают. Значит, различие эмпирических и теоретических частот значимо. Замечание 1. Объём выборки должен быть не менее 50, а эмпирические частоты не менее 5. При этом, малочисленные группы с частотами менее 5 объединяют с соседними в одну, суммируя одновременно эмпирические частоты. Замечание 2. В случае, когда согласование теоретических и эмпирических частот “слишком хорошее” следует проявить осторожность, так как возможны ошибки первого и второго рода. Для этого, например, можно повторить опыт, построить график наблюдений, график распределения, вычислить асимметрию и эксцесс.

Замечание 3. В целях контроля вычислений формулу (31) преобразуют к виду

31. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона 2 (хи – квадрат).

Эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот. Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:

x_i x₁ x₂…x_n

n_i n₁ n₂…n_n

Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу

о том, что генеральная совокупность X распределена нормально. Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо: 1. Вычислить непосредственно (при малом числе наблюдений) или упрощенным методом (при большом числе наблюдений)^например методом произведений или сумм, выборочную среднюю х_в и выборочное среднее квадратическое отклонение Ϭ_в. 2. Вычислить теоретические частоты n_i= где п—объем выборки (сумма всех частот), h—шаг (разность между двумя соседними вариантами),

3. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью

критерия Пирсона. Для этого: а) составляют расчетную таблицу (см. табл. 18J, по которой находят наблюдаемое значение критерия

набл= б) по таблице критических точек распределения х², по заданному уровню значимости а и числу степеней свободы k = s—3 (s - число групп выборки) находят критическую точку х²_кр (а, к) правосторонней критической области. Если Х² набл < Х² кр—нет оснований отвергнуть гипотезу о нормольном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо (случайно). Если Х² набл > Х² кр—гипотезу отвергают. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо. Замечание 1. Малочисленные частоты (п_i< 5) следует объединить; в этом случае и соответствующие им теоретические частоты также надо сложить. Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней свободы по формуле k = s—3.следует в качестве s принять число групп выборки, оставшихся после объединения частот.