24. Предмет математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Статистический ряд распределения выборки. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.

			…		,
			…				(24)
			…

Математическая статистика — раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использовании статистических данных для научных и практических выводов. Основное отличие математической статистики от теории вероятностей в том, что в математической статистике рассматриваются не действия над законами распределения и числовыми характеристиками случайных величин, а приближенные методы отыскания этих законов и характеристик по результатам экспериментов. Одним из основных способов сбора статистических данных является выборочный метод — метод исследования общих свойств совокупности каких-либо объектов на основе изучения свойств лишь части этих объектов, взятых на выборку. Всю исследуемую совокупность однородных объектов называют генеральной совокупностью, а множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности, — выборочной совокупностью или просто выборкой. Объемом генеральной или выборочной совокупности называют число всех ее объектов. При составлении выборки пользуются двумя основными способами: повторным (отобранный объект обследуют, и снова возвращают в генеральную совокупность) и бесповторным (обследуемый объект не возвращается в генеральную совокупность). На практике обычно пользуются бесповторным способом. Для того чтобы свойства выборки достаточно хорошо отражали свойства генеральной совокупности, выборка должна быть репрезентативной (или представительной), то есть когда каждый объект генеральной совокупности имеет одинаковую возможность попасть в выборку. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение изучаемого признака наблюдалось раз, — раз, … , — раз, и — объем выборки. Наблюдаемые значения называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке — вариационным рядом. Числа называют частотами (или весами), а их отношение к объему выборки, то есть — относительными частотами (или частостями), при этом . В случае, когда количественный признак является дискретным его варианты и соответствующие им частоты или относительные частоты представляют в виде таблицы

			…		.
			…			(25)
			…

называемой статистическим распределением выборки или статистическим дискретным рядом. Графическое представление ряда (24) дает полигон частот (или относительных частот), представляющий собой ломаную линию, состоящую из отрезков, соединяющих точки (или точки ). Нетрудно заметить полную аналогию между статистическим распределением выборки и законом распределения дискретной случайной величины, столь лишь разницей, что в данном распределении вместо возможных значений случайной величины фигурируют варианты, а вместо соответствующих вероятностей — относительные частоты. В силу этой аналогии по известному статистическому распределению можно по тем же формулам, что и для дискретного распределения, найти выборочные аналоги математического ожидания и дисперсии. В случае большого количества вариант или непрерывного распределения признака статистическое распределение задают в виде интервального статистического ряда:

В качестве частоты (частости ), соответствующей интервалу , принимают сумму частот (частостей), попавших в этот интервал. Отметим, что в общем случае длины интервалов могут быть между собой не равны. Однако в случае дискретного признака с большим количеством вариант (то есть большом объеме выборки) интервалы обычно берут одинаковой длины, которую можно определить по формуле Стерджесса: где — разность между наибольшей и наименьшей вариантами признака, — объем выборки, — число интервалов За начало первого интервала рекомендуется брать величину Интервальный ряд (25) графически изображают в виде гистограммы частот (частостей) — ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины а высоты равны отношению — плотности частоты (  — плотности относительной частоты). Очевидно, площадь гистограммы частот равна объему выборки, а площадь гистограммы относительных частот равна единице. Гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности распределения вероятностей генеральной совокупности. Одним из способов обработки вариационного ряда является построение эмпирической функции распределения. Эмпирической (статистической) функцией распределения выборки называется функция где — объем выборки, — число вариант меньших  Эмпирическая функция распределения является оценкой теоретической функции распределения случайной величины . Различие заключается в том, что в теории вероятностей определяет вероятность события а  — его относительную частоту.

26. Выборочные характеристики статистического распределения (выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, средняя ошибка, коэффициент вариации, начальный и центральный моменты r-го порядка, асимметрия и эксцесс выборки, мода и медиана).

Числовые характеристики статистического распределения. Для справки приведем некоторые числовые характеристики, аналогичные тем, что в теории вероятностей определялись для случайных величин. Пусть статистическое распределение выборки объема имеет вид (24). Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки¹: Для непрерывно распределенного признака формулы для выборочных средних будут такими же, но за значения надо брать не концы промежутков а их середины Выборочной дисперсией, обозначаемой (или ) называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней , то есть Выборочное среднее квадратическое отклонение определяется формулой При обработке малых выборок (объема ) используется величина то есть которая называется исправленной выборочной дисперсией. Следовательно, величина называется исправленным выборочным средним квадратическим отклонением.