7. Формула полной вероятности и формула Бейеса.

Пусть событие может произойти только совместно с одним из событий образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, то их называют гипотезами. Тогда событие можно представить как сумму событий то есть Здесь слагаемые — попарно несовместные события, ибо для любых имеем Поэтому, согласно теорем сложения и умножения вероятностей, получаем так называемую формулу полной вероятности где — вероятность реализации -ой гипотезы,  — априорная (известная до проведения опыта) вероятность события в этом случае. Если дополнительно стало известно, что в результате опыта событие произошло, то по формуле Байеса¹ можно определить апостериорную (после проведения опыта) вероятность того, что при этом была реализована гипотеза

8. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события в независимых повторных испытаниях.

Пусть производятся испытания, в каждом из которых может появиться событие . Если вероятность события в одном испытании не зависит от появления его в любом другом, то такие испытания называют независимыми относительно события  . Будем считать, что испытания происходят в одинаковых условиях, а вероятность появления события в каждом из них постоянна и равна Тогда вероятность того, что в серии из независимых испытаний событие произойдет раз (и не произойдет раз), определяется по так называемой формуле Бернулли² (5), где — число сочетаний из элементов по — вероятность появления события в каждом испытании, — вероятность события противоположного событию

9. Асимптотические оценки формулы Бернулли (приближенные локальная формула Муавра-Лапласа и приближенная формула Пуассона).

При малых значениях вероятность находится по формуле Бернулли (5) просто, однако при больших вычисления становятся громоздкими. Поэтому в последнем случае пользуются следующим утверждением, которое вытекает из локальной предельной теоремы Муавра-Лапласа³: если при независимых испытаниях событие происходит с постоянной вероятностью которая не очень близка к нулю или единице ( ), то при достаточно большом числе испытаний вероятность того, что событие произойдет точно раз, приближенно равна ⁴ (6), где Формулу (6) называют локальной приближенной формулой Муавра-Лапласа. Приближенное равенство (6) тем точнее, чем больше и чем ближе к 0,5. Имеются таблицы, в которых помещены значения функции соответствующие (см. приложение 1). Для отрицательных пользуются теми же таблицами, так как функция — четная ( ). При полагают Локальная приближенная формула Муавра-Лапласа (6) дает возможность с небольшой погрешностью находить вероятность даже тогда, когда близко к нулю или единице при условии, что очень велико. В противном случае погрешность может оказаться значительной. Французский математик Пуассон нашел другую формулу, по которой при малых значениях можно найти вероятность с небольшой погрешностью. Из предельной теоремы Пуассона следует: если при независимых испытаниях событие происходит с постоянной вероятностью близкой к нулю, то при достаточно большом числе испытаний вероятность осуществления события точно раз, приближенно равна (7), где Формулу Пуассона (7) обычно применяют в тех случаях, когда а формулу Муавра-Лапласа (6) — при Формула Пуассона (7) используется также для расчета вероятности появления различного числа событий (точек) в какой-либо области (площади, объеме или во времени). При этом должны соблюдаться следующие условия: а) точки в области распределены в общем равномерно; б) положение каждой точки случайное, независимое друг от друга; в) точки появляются в области по одиночке, а не парами, тройками и т. д. Если соблюдены условия а), б), в) и указано среднее число появления точек на единицу области (площади, объеме, времени), то число точек, попадающих в область внутри которой появляются интересующие нас события (точки), определяется произведением среднего числа и размера области то есть В этом случае вероятность появления событий (точек) в области определяется формулой Пуассона (7^*), где Часто при решении задач требуется вычислить вероятность того, что событие появится в независимых испытаниях не менее и не более раз. Эти задачи решаются с помощью теоремы сложения вероятностей и одной из формул: Бернулли, локальной приближенной формулы Муавра-Лапласа, Пуассона. Действительно, вероятность того, что событие в независимых испытаниях наступит не менее и не более раз, будет равна вероятности наступления этого события или раз, или раз, … , или раз, то есть

(8)

Осталось вычислить вероятности, стоящие в правой части равенства (8) по одной из выше упомянутых формул и полученные результаты сложить. В случае, когда число испытаний достаточно велико, а числа и значительно отличаются друг от друга, способ вычисления вероятности по формуле (8) будет громоздким.