5. Геометрическая вероятность. Аксиоматическое определение вероятности (пространство элементарных событий, алгебра событий , -алгебра).

Геометрическая вероятность — один из способов задания вероятности; пусть Ω — ограниченное множество евклидова пространства, имеющее объем λ(Ω) (соответственно длину или площадь в одномерной или двумерной ситуации), пусть ω — точка, взятая случайным образом из Ω, пусть вероятность, что точка будет взята из подмножества   пропорциональна его объёму λ(x), тогда геометрическая вероятность подмножества  определяется как отношение объёмов:

Геометрическое определение вероятности часто используется в методах Монте-Карло, например, для приближённого вычисления значений многократных определённых интегралов.

Испытание (опыт, эксперимент) — это процесс, включ. опред. усл-я и приводящий к одному из неск. возм. исходов. Исходом опыта м.б. рез-тат наблюдения или измерения. Возможные исходы w_i эксперимента G нзв элементарными событиями, если они явл.взаимоисключ.и в рез-те опыта одно из них обязательно происх.

Случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий, подразделяющихся на достоверные, невозможные, совместные, несовместные, единственно возможные, равновозможные, противоположные. Сов-ть Ω всех элемент.событий w_i в опыте G нзв пространством элемент.событий. Пространство элемент.событий — это математическая модель опыта, в к-рой любому событию ставится в соответствие некоторое подмнож-во пространстваΩ. Мн-во Ω м.б. конечным, счетным или несчетным. Вероятностью называется числовая функция, определенная на поле событий S и обладающая следующими свойствами: Аксиома 1. Для любого события A прин. S Р(А)>=0. Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице Р (омега)=1. Аксиома 3. Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: А прин. S, В прин. S, А*В=0, Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Док-во: Событие А является подмножеством омега, так как А={wi1,…,wim},то, согласно конечной схеме, Р(А)=сумме по l от 1 до m рil, 0<=pil<=1, l=1,…,m, поэтому Р(А)>=0, т.е. условие аксиомы 1 выполняется. Условие аксиомы 2 выполняется, поскольку омега={w1,…,wn}и на основании того, что Р(А)=сумме по l от 1 до m рil, то Р(омега)=сумма по i от 1 до n pi=1. Условие аксиомы 3 также выполняется, так как оно представляет собой содержание теоремы сложения для конечной схемы. Итак, конечная схема является примером объекта, для которого выполняется система аксиом теории вероятностей.

6. Теоремы сложения и умножения вероятностей (зависимые и независимые события, условная вероятность, независимые события в совокупности, вероятность появления хотя бы одного из независимых событий в совокупности).

Суммой или объединением двух событий и называется такое событие или которое состоит в появлении хотя бы одного из событий и Произведением или пересечением двух событий и называется такое событие или состоящее в совместном осуществлении событий и Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий и равна сумме их вероятностей, то есть (1). Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице. Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Предположим, что события и совместны. Тогда вероятность их суммы выражается формулой (2), то есть вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения (совместного наступления). Заметим, что формула (1) является частным случаем формулы (2), ибо в случае несовместности событий и событие — невозможное и Два события являются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от наступления или не наступления другого. Если же вероятность одного события меняется в зависимости от того, произошло другое событие или нет, то эти события являются зависимыми. В случае зависимых событий имеет смысл говорить об условной вероятности. Вероятность события   вычисленная при условии, что имело место другое событие  называется условной вероятностью события и обозначается: или Аналогично определяется и обозначается условная вероятность события или

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения (совмещения) двух событий и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое событие произошло, то есть (3). Если события и являются независимыми, то по определению и формулы (3) примут вид то есть вероятность совместного наступления двух независимых событий и равна произведению их вероятностей. События называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если каждое из них и любое произведение остальных (включая все остальные события либо часть из них) есть события независимые. События независимые в совокупности попарно независимы между собой; обратное неверно. Для независимых событий справедливо равенство то есть вероятность совместного появления конечного числа независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Если событие состоит в появлении хотя бы одного из независимых событий то вероятность события равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий (4)