Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

М.Ю. Тельнова

В.А. Мушруб

Линейная алгебра

Учебное пособие

Руководство по изучению дисциплины

Практикум

Учебная программа

Москва, 2008

Учебное пособие

Глава 1. Матрицы и действия над ними. Определитель квадратной матрицы

§ 1. Линейные операции над матрицами

1. Понятие матрицы.

Определение 1.1. Прямоугольная таблица , заполненная числами и состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размера m n.

Матрицы принято заключать в круглые или двойные вертикальные скобки. Числа , заполняющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы, как правило, обозначают заглавными латинскими буквами и, чтобы отметить, что элементами матрицы A служат числа , используют запись .

Мы будем использовать так называемую систему двойных индексов: каждый элемент квадратной матрицы  обозна­чим одной и той же буквой  с двумя индексами внизу, первый ин­декс i будет указывать номер строки, а второй j — номер столбца, на пересечении которых расположен данный элемент  . Например, элемент матрицы , находящийся во второй строке и в третьем столбце, мы обозначим через . Элементы матрицы, обозначенной буквой , будем обозначать через , и т. д.

Матрица размера 1 n имеет вид и называется строкой длины n. Столбец длины n – это матрица размера n 1. Строки и столбцы длины n называют также n-мерными векторами и обозначают , при этом – первая координата вектора, – вторая координата вектора, и т.д.

Векторы и считаются равными, если они имеют одинаковую размерность и соответствующие координаты их совпадают, т. е. ,  ,…, .

Определение 1.2. Линейные операции над строками определяются следующим образом:

1) сложение двух строк

;

2) вычитание двух строк

;

3) умножение строки на число

.

Таким образом, сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число осуществляются покоординатно.

Замечание. Вычитание двух строк представляет собой, на самом деле, сложение первой строки и второй, умноженной на число –1.

Примеры операций над строками.

а)

б)

в)

г)

д) .

Нулевым вектором (или нулевой строкой) называется вектор, обозначаемый , такой, что для любого вектора . Нулевой вектор, очевидно, равен .

Для любого вектора существует вектор такой, что . Вектор называется вектором, противоположным вектору и обозначается  . Вектор , противоположный вектору , по определению равен .

Определение 1.3. Пусть n – какое-либо фиксированное натуральное число. Множество всех n-мерных строк с введенными выше операциями называется арифметическим линейным пространством и обозначается .

Наряду с арифметическим линейным пространством строк рассматривают также арифметическое линейное пространство вектор-столбцов размерности .

2. Свойства линейных операций над строками, столбцами и матрицами.

Теорема 1.4. Если – любые действительные числа и – любые два n-мерных вектора (строки или столбца), то справедливы следующие равенства:

Л₁) ;

Л₂) ;

Л ₃) для всех векторов ;

Л ₄) ;

Л ₅) ;

Л ₆) ;

Л ₇) для всех векторов ;

Л ₈) .

Матрицу, все элементы которой равны нулю, будем называть нулевой и обозначать ее через 0.

Через обозначают матрицу, полученную из матрицы изменением знаков всех элементов последней на противоположный. Если , то положим по определению .

Сложение матриц и умножение матрицы на число определяется аналогично тому, как это было сделано для строк.

Определение 1.5. Пусть n и m – натуральные числа. Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица того же размера с элементами .

Произведением действительного числа и матрицы A называется матрица того же размера, элемен­тами которой служат числа .

Операции над матрицами аналогичны операциям со строками, поэтому операции над матрицами обладают свойствами, аналогичными свойствам операций со строками. Для любых матриц одинаковых размеров справедливы следующие равенства:

1) ; 2) для всех матриц ;

3) ; 4) для всех матриц ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ,

где А, B, C — матрицы, а и — числа.

Примеры.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Линейные пространства. Пусть V– непустое множество, элементы которого мы будем называть векторами. Пусть на множества V определены:

1) операция сложения, ставящая в соответствие каждой паре элементов и из V элемент того же множества V;

2) операция умножения вектора на число, ставящая в соответствие числу и элементу элемент из V.

Определение 1.6. Непустое множество V образует линейное (или векторное) пространство, если для любых элементов и любых чисел справедливы свойства Л₁) – Л₆), существует нулевой элемент , удовлетворяющий свойству Л₇), и для каждого вектора существует противоположный вектор ( ), удовлетворяющий равенству Л₈).

Пример 1.7. Пусть V – множество функций, определенных на всей числовой прямой. Определим операции сложения функций и умножения функции на число , превращающие V в векторное пространство, снабженное операциями сложения и умножения на число . Роль нулевого вектора в этом пространстве играет функция, принимающая значение 0 во всех точках числовой прямой.

Проверьте выполнение условий Л₁)–Л₈).

Пример 1.8. Пусть V – множество всех арифметических прогрессий с четырьмя членами, снабженное операциями:

1) сложения прогрессий и

2) умножения прогрессии на число

Тогда суммой прогрессий с первыми членами и и разностями и будет арифметическая прогрессия с первым членом и разностью . Поскольку операции определены в точности так же, как операции со строками, выполняются условия Л₁)–Л₈).

Пример 1.9. Несложно проверить, что – множество всех матриц размера  с операциями сложения матриц и умножения матрицы на число, введенными выше, и с нулевой матрицей в качестве нулевого элемента, является линейным пространством.