Вопрос 7

Схема независимых испытаний. Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Понятие независимых испытаний. Испытания по схеме Бернулли. Формула Бернулли. Пример задачи о повторении независимых испытаний.

Определение: Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются независимыми относительно события А.

"Сложное событие"- совмещение нескольких  отдельных событий, которые называют "простыми".

Под схемой Бернулли понимают конечную серию   повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления (удачи) одного исхода при одном испытании обозначают , а непоявления (неудачи) его  . Я. Бернулли установил, что вероятность ровно   успехов в серии из   повторных независимых испытаний вычисляется по следующей формуле:

Если событие А при n повторениях испытания происходит m раз с постоянной вероятностью Р, то вероятность происхождения такого события определяется по этой формуле.

Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что:

1. герб выпадет три раза;

2. герб выпадет один раз;

Решение

Итак, нас интересует событие A, когда выпадает герб. Вероятность этого события равна p = 0,5. Событию A противопоставляется событие «не A», когда выпадает решка, что случается с вероятностью q = 1 − 0,5 = 0,5. Нужно определить вероятность того, что герб выпадет k раз.

Таким образом, имеем: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Определим вероятность того, что герб выпал три раза, т.е. k = 3:

Теперь определим вероятность того, что герб выпал только один раз, т.е. k = 1:

Повторными независимыми испытания - это когда испытания являются независимыми и вероятность появления события   в каждом испытании постоянна.

Пример. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу пяти дета­лен две стандартные, если вероятность того, что каждая деталь будет стан­дартной, равна 0,9.

Решение. Вероятность события А, состоящего в том, что взятая наудачу деталь будет стандартной, р = 0,9, нестандартной — q=1—p = 0,1. Искомое событие (обозначим его через B) наступит, если, например, первые две детали окажутся стандартными, а следующие три — нестандартными. Но событие б также наступит, если первая и третья детали окажутся стандартными, а осталь­ные — нестандартными, или если вторая и пятая детали будут стандартными, а остальные — нестандартными. Имеются и другие возможности осуществления события В. Любая из них характеризуется тем, что из пяти взятых детален две, занимающие любые места из пяти, окажутся стандартными. Следовательно, общее число различных возможностей осуществления события 5 равно числу возможно­стей размещения на пяти местах двух стандартных деталей, т. е. равно числу сочетаний из пяти элементов по два, т.е. 10.

Вероятность каждой возможности по теореме умножения вероятностей рав­на произведению пяти множителей, из которых два, соответствующие появлению стандартных деталей, равны 0,9, а остальные три, соответствующие появлению нестандартных деталей, равны 0,1, т. е. равна 0,9² • 0,1³. Так как десять возмож­ностей являются несовместимыми событиями, то по теореме сложения вероят­ность события В, которую обозначим Р_2,5 равна сумме десяти таких слагаемых Итак, P_2.5 =0.0081.

Вопрос№9.

Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайная величина.

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Дискретной (непрерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных знаний дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерываемой называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерываемой случайной величины бесконечно.

Математика: 11 вопрос

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

В то же время при решении практических задач достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь математическое ожидание, стандартное отклонение и дисперсия.

 

Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины, (как нам диктовали: наиболее часто встречаемая величина происхождения события.) Математическое ожидание случайной величины x обозначается Mx .

Математическое ожидание дискретной случайной величины x , имеющей распределение

 

x1	x2	...	xn
p1	p2	...	pn

называется величина  , если число значений случайной величины конечно.

Если число значений случайной величины счетно, то 

Свойства математического ожидания. 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине: М(С) = С 2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = С·М(Х) 3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х₁ + Х₂ + …+ Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) + ... + М(Х_n) 4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М(Х₁ · Х₂ · ... · Х_n) = М(Х₁) · М(Х₂) · ... · М(Х_n)

Дисперсия случайной величины

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Если случайная величина x имеет математическое ожидание Mx , то дисперсией случайной величины x называется величина Dx = M(x - Mx )².

Легко показать, что Dx = M(x - Mx )²= Mx ² - M(x )².

Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mx ² >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формуле

Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение  , связанное с дисперсией соотношением  .

Основные свойства дисперсии:

• дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx   0;

• дисперсия константы равна нулю, Dc=0;

• для произвольной константы D(cx ) = c²D(x );

• дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x ±h ) = D(x ) + D (h ).

Стандартное отклонение, среднеквадратичное отклонение-очень распространенный показатель рассеяния в описательной статистике. Но, т.к.технический анализ сродни статистике, данный показатель можно (и нужно) использовать в техническом анализе для обнаружения степени рассеяния цены анализируемого инструмента во времени. Обозначается греческим символом Сигма «σ». Спасибо Карлам Гауссу и Пирсону за то, что мы имеем возможность пользоваться стандартным отклонением.

Понимание сути стандартного отклонения возможно с пониманием азов описательной статистики. К примеру, мы имеем 2 выборки, у которых среднее арифметическое одинаково и равно 3. Казалось бы, одинаковое среднее делает эти две выборки одинаковыми. Давайте рассмотрим возможные варианты данных для этих двух выборок:

1. 1, 2, 3, 4, 5

2. -235, -103,  3, 100, 250

Очевидно, что разброс (или рассеяние, или, в нашем случае, волатильность) гораздо больше во второй выборке. Следовательно, несмотря на то, что у этих двух выборок одинаковое среднее (равное 3), они совершенно разные в силу того, что у второй выборки данные беспорядочно и сильно рассеяны вокруг центра, а у первой — сконцентрированы около центра и упорядочены.

Но если нам надо быстро дать понять о таком явлении, мы не будем объяснять, как в абзаце выше, а просто скажем, что у второй выборки очень большое стандартное отклонение, а у первой — очень маленькое. Так, у второй выборки стандартноеотклонение равно 186, а у первой оно равно 1,6. Разница существенная.