Вопрос № 4
Комбинации с повторениями. Формулы.
Перестановки с повторениями
Пусть даны
элементов
первого типа,
—
второго типа, ...,
—
-го
типа, всего
элементов.
Способы разместить их по
различным
местам называются перестановками с
повторениями. Их количество обозначается
.
Теорема: число перестановок с повторениями
.
Пример 1
У девочки имеется 2 белых бусины, 3 синих и 1 красная. Сколькими способами их можно нанизать на нитку?
Решение Порядок расположения элементов важен, элементы повторяются. Используем число перестановок с повторениями. (2 + 3 + 1)!/2!3!1! = 6!/2·6 = 720/12 = 60
Размещения с повторениями
Размещениями из n элементов по m элементов (m < n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Размещениями с повторениями из n элементов по m называются упорядоченные m-элементные выборки, в которых элементы могут повторяться.
Число размещений с
повторениями вычисляется по формуле:
|
|
Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буквы могут повторяться?
Решение.
Получатся следующие наборы: БА, БР, АР, АБ, РБ, РА.
По формуле (3.1) получаем:
наборов.
Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АБ, АР, РР, РБ, РА.
По формуле (3.2) получаем:
наборов.
Пример. Вдоль дороги стоят 6 светофоров. Сколько может быть различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния: "красный", "желтый", "зеленый"?
Решение. Выпишем
несколько комбинаций: КККЖЗЗ, ЗЗЗЗЗЗ,
КЖЗКЖЗ... Мы видим, что состав выборки
меняется и порядок элементов существенен
(ведь если, например, в выборке КЖЗКЖЗ
поменять местами К и Ж, ситуация на
дороге будет другой). Поэтому применяем
формулу (3.2) и вычисляем число размещений
с повторениями из 3 по 6, получаем
комбинаций.
Сочетания с повторениями
Подсчитаем количество
способов, которыми можно выбрать
из
различных
предметов. Такие выборки называются
сочетаниями, а их количество обозначается
.
Пусть имеются предметы
различных
видов предметов, и из них составляются
наборы, содержащие
элементов.
Такие выборки называются сочетаниями
с повторением. Их число обозначается
.
Теорема: число сочетаний с повторениями может быть вычислено по формулам:
.
Вопрос 5
Полная группа элементарных событий. Вероятностное пространство. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности.
Полная группа элементарных событий. Схема вероятностного пространства. Частота и вероятность события. Подсчёт вероятностей, свойства вероятности. Отличие классического определения вероятности от статистического.
По́лной гру́ппой собы́тий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.
Событие
Происходит не происходит
Элементарные исходы
Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов W(A)=m/n .
Вероятность – число, которое показывает частоту происхождения событий. P(A)=m/n.
m - число благоприятных событий.
n - общее число всех исходных событий.
Классическое определение вероятности связано с непосредственным подсчетом
вероятности, требует точного знания числа всех возможных исходов, и удобно
для расчета вероятности достаточно простых событий.
Расчет вероятности более сложных событий - это сложная задача, требующая
определения чисел всех возможных комбинаций появления этих событий. Подобными
расчетами занимается специальная наука – комбинаторика.
Свойство 1. Если можно вычислить возможности возникновения события А и их число совпадает общим числом равновозможных событий, то вероятность события А равна 1.
Например, при бросании игральной кости число возможностей выпадения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 равно 6. Насчитывается также 6 равновозможных несовместимых событий. Таким образом, M = N и
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна 0. Если число возможностей события А равна 0, то и
Например, при бросании игральной кости не может выпасть число 9, потому что такого числа нет на гранях игральной кости.
Свойство 3. Вероятность случайного события всегда больше 0 и меньше 1:
или
Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведенных испытаниях.
т.
е.
.
где
(1.2)
-
статистическая вероятность события
А
w(A)
- относительная частота наступления
события А
m
- число испытаний, в которых появилось
событие А
n
- общее число испытаний.
В отличие от классического определения вероятности, статистическое определение является опытной, экспериментальной характеристикой. Но применить статистическое определение можно не к любым событиям, а обладающим определенными свойствами: 1. Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий. Так, например, бессмысленно ставить вопрос об определении вероятностей возникновения войн, появления гениальных произведений искусства и т.п., так как речь идет о неповторимых в одинаковых условиях испытаниях, уникальных событиях. Или, например, не имеет смысла говорить о том, что данный студент сдаст семестровый экзамен по теории вероятностей, поскольку речь здесь вдет о единичном испытании, повторить которое в тех же условиях нет возможности. И хотя приведенные в примерах события с неопределенным исходом относятся к категории «может произойти, а может и не произойти», такими событиями теория вероятностей не занимается. 2. События должны обладать так называемой статистической устойчивостью, или устойчивостью относительных частот. Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота (частость) события изменяется незначительно (тем меньше, чем больше число испытаний), колеблясь около постоянного числа. Факт приближения относительной частоты, или частости, события к его вероятности при увеличении числа испытаний, сводящихся к схеме случаев, подтверждается многочисленными массовыми эксперимёнтами, проводимыми разными лицами со времен возникновения теории вероятностей. Так, например, в опытах Бюффона (XVIII в.) относительная частота (частость) появления герба при 4040 подбрасываниях монеты оказалась равной 0,5069, в опытах Пирсона (XIX в.) при 23000 подбрасываниях — 0,5005, практически не отличаясь от вероятности это-го события, равной 0,5. 3. Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико, ибо только в этом случае можно считать вероятность события Р(А) приближенно равной ее относительной частоте.
И, наконец, еще одним недостатком классического определения вероятности является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания.