9. Комплексные числа: определение, операции, геометрическая интерпретация

Определение комплексных чисел

Комплексные числа появились в математике как естественное расширение действительных чисел, необходимое для возможности решения уравнений типа x=a^0.5 при отрицательных значениях a. Принято обозначать комплексные числа как многочлены типа:

z=a+ib,

где: a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица, по определению i=(-1) ^0.5.

Операции с комплексными числами

С комплексными числами можно выполнять все алгебраические операции. Интересно, что все операции с комплексными числами в качестве результата имеют так же комплексное число. То есть множество комплексных чисел замкнуто относительно алгебраических операций.

Сложение комплексных чисел осуществляется как сложение многочленов:

z₁+z₂ = (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)

Аналогично выполняется вычитание комплексных чисел:

z₁-z₂ = (a+ib) - (c+id) = (a-c) + i(b-d)

Умножение комплексных чисел производится по формуле умножения многочленов:

z₁*z₂ = (a+ib) * (c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)

Деление комплексных чисел выполняется по формуле:

z₁/z₂ = (a+ib) / (c+id) = (ac+bd)/(c²+d²) + i(bc-ad)/ (c²+d²

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

При изучении свойств комплексных чисел весьма удобной является их геометрическая интерпретация. Поскольку комплексное число определяется как пара действительных чисел, то естественно представить комплексное число z=a+ib точкой на плоскости с координатами x=a и y=b. Такую плоскость принято называть комплексной плоскостью, ось X – действительной осью, а ось Y – мнимой осью.

Точки, расположенные на действительной оси соответствуют комплексным числам типа z=a+i0=a, то есть действительным числам.

Точки, расположенные на мнимой оси соответствуют комплексным числам типа z=0+ib, они называются чисто мнимыми числами.

Если соединить точки комплексной плоскости, изображающие комплексные числа с центром системы координат (точкой с координатами 0,0), образуются объекты называемые векторами. При этом сложение комплексных чисел будет интерпретироваться как сложение, а вычитание как вычитание соответствующих векторов. Модуль разности комплексных чисел еще можно представить как расстояние между точками комплексной плоскости.

9. Тригонометрическая форма записи комплексного числа, формула Муавра, извлечение корней из комплексных чисел

Если для определения положения точки на плоскости использовать полярную систему координат. Можно перейти к так называемой тригонометрической форме записи комплексных чисел. Точка в полярной системе координат определяется координатой r – расстоянием от начала координат и углом j, который образует радиус-вектор данной точки с положительным направлением оси абсцисс.

Положительным направлением изменения угла считается j направление против часовой стрелки. Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат:

x=r cos(j),       y=r sin(j)

получим так называемую тригонометрическую форму записи комплексного числа:

z=r(cos(j)+i sin(j)

При этом r обычно называют модулем, а j - аргументом комплексного числа и обозначают r=|z|, j=Arg (z). Отметим, что аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до аддитивного слагаемого, кратного 2p.

Аргумент комплексного числа z=0 вообще не определен, а его модуль равен нулю.

Наконец, используя известную формулу Эйлера (e^ij=cos(j)+i sin(j)), получим так называемую показательную форму записи комплексного числа:

z=r e ^ij

Для выполнения операции умножения удобно пользоваться тригонометрической формой представления комплексных чисел. Согласно правилам умножения получаем:

z₁  *z₂ = r₁ r₂ (cos (j₁ +j₂ )+i sin(j₁ + j₂ ))

то есть модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей.

В случае деления комплексных чисел (если только r₂ не равно 0) имеет место аналогичное соотношение:

 z₁ /z₂ = r₁ /r₂ (cos (j₁ - j₂ )+i sin(j₁ -j₂ ))

Муавра формула - формула, содержащая правило для возведения в степень n комплексного числа, представленного в тригонометрической форме

        z = ρ (cos φ + i sin φ);

       согласно М. ф., модуль ρ комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент φ умножается на показатель степени

         zⁿ = [ρ (cos φ + i sin φ)] ⁿ = ρⁿ (cos nφ + i sin nφ).

        М. ф. была найдена А. Муавром в 1707; современная её запись предложена Л. Эйлером в 1748.

         М. ф. может быть легко использована для выражения cos nφ и sin nφ через степени cos φ и sin φ; положив в М. ф. ρ = 1 и приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим

         cos nφ = cosⁿ φ - C_n² cos^n-2 φ sin² φ + C_n⁴ cos^n-4 φ sin⁴ φ -...,

         sin nφ = C_n¹ cos^n-1 φ sin φ - C_n³ cos^n-3 φ sin³ φ +...,

        где C_n^m = n!/m!(n - m)! — биномиальные коэффициенты (см. Ньютона бином). Обращение М. ф. приводит к формуле для извлечения корня из комплексного числа.