10. Построение графика функции.

Задача. Построить график функции f(x) = x³ – 2x² + x.

Условие задачи: дана функция.

Заключение: построить график этой функции с помощью производной.

Задача на вычисление. Метод решения: алгоритмизация.

Решение этой задачи показывает нам, как при помощи свойств производной функции построить график.

Эта функция определена при всех x R. С помощью производной найдем промежутки монотонности этой функции и ее точки экстремума. Производная равна f ’(x) = 3x² – 4x +1. Найдем стационарные точки: 3x² – 4x +1= 0, откуда

Для определения знака производной разложим квадратный трехчлен 3x² – 4x +1 на множители: f '(x) = 3 (x - ) (x – 1 ).

Производная положительна на промежутках x < и x > 1, следовательно, на этих промежутках функция возрастает.

При < x < 1 производная отрицательна, следовательно, на этом интервале функция убывает. Точка является точкой максимума, так как слева от этой точки функция возрастает, а справа убывает. Значение функции в этой точке равно

Точка является точкой минимума, так как слева от этой точки функция убывает, а справа возрастает; её значение в точке минимума равняется .

Результаты исследования представим в следующей таблице:

x	x <		< x < 1	1	x > 1
f '(x)	+	0	-	0	+
f (x)	↑		↓	0	↑

Знак «↑» означает, что функция возрастает, а знак «↓» означает, что функция убывает.

При построении графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат. Так как f(0) = 0, то график проходит через начало координат. Решая уравнение f(x) = 0, находим точки пересечения графика с осью абсцисс:

x³ – 2x² + x = 0, x(x² – 2x + 1) = 0, x(x - 1)² = 0, откуда x = 0, x = 1. Для более точного построения графика найдем значения функции еще в двух точках:

Используя результаты исследования, строим график функции y = x³ – 2x² + x.

11. Нахождение наибольшего и наименьшего значения.

Задача. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ ].

Условие задачи: дана функция.

Заключение: найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ ].

Задача на вычисление. Метод решения: алгоритмизация.

Решение этой задачи показывает нам алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции.

12. Понятие производной второго порядка. Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом, f"(x) = (f'(x))'.

Объемом понятия является функция.

Структура определения дизъюнктивная.

Способ определения через ближайший род и видовые отличия.

13. Понятие «выпуклость функции». Функция y = f(x), дифференцируемая на интервале (a, b), называется выпуклой вверх на этом интервале, если её производная f ' (x) убывает на (a, b). Аналогично функция f(x)называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если f ' (x) возрастает на этом интервале, и поэтому f"(x) > 0.

Объемом понятия является функция.

Структура определения конъюнктивная.

Способ определения через ближайший род и видовые отличия.

14. Понятие «точки перегиба». Точка x₀ дифференцируемой функции f(x) называется точкой перегиба этой функции, если x₀ является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз для f(x).

Объемом понятия является точка.

Структура определения конъюнктивная.

Способ определения через ближайший род и видовые отличия.