МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Поволжская государственная социально-гуманитарная академия»
(ПГСГА)
Факультет математики, физики и информатики
Кафедра математики и методики её преподавания
Логико-дидактический анализ темы
«Применение производной к исследованию функций»
По учебнику «Алгебра и начала анализа 10-11 класс. Авторы: Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров и др.»
Выполнили: студентки группы М-5-В
Соколова Ольга Сергеевна
Место прохождения практики: МОУ СОШ №3
Руководитель: Шехмаметьева Галина Евгеньевна
Дата прохождения практики: 22.10.12 – 06.01.13
Самара 2012.
Логико-дидактический анализ темы «Применение производной к исследованию функций».
Цель изучения темы: дать систематические знания о применении производной к исследованию функции.
Цель реализуется в следующих учебных задачах:
демонстрация возможностей производной в исследовании свойств функций и построении их графиков и применение производной к решению прикладных задач на оптимизацию;
отработка определения понятия производной;
раскрытие методики решения задач основных типов;
отработка умений применять теорию при решении задач;
определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков;
описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций;
исследовать функции и строить их графики с помощью производной;
решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции;
решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;
Новыми математическими фактами в этой теме будут:
Понятие возрастания и убывания функции (без доказательства).
Теорема Лагранжа (теорема 1).
Теорема о достаточном условии возрастания функции (теорема 2).
Понятие окрестности точки.
Понятие минимума/максимума функции.
Теорема Ферма (теорема 3).
Понятие стационарной точки.
Понятие критической точки.
Теорема о перемене знака производной, при переходе через стационарную точку (теорема 4).
Построение графика функции.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения.
Понятие производной второго порядка.
Выпуклость функции.
Точки перегиба.
Понятие возрастания и убывания функции.
-
Если f’(x) > 0 на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.
Если f’(x) < 0 на промежутке, то функция убывает на этом промежутке.
Объемом понятия являются все функции.
Структура определения конъюнктивная.
Способ определения через ближайший род и видовые отличия.
Теорема 1 (Теорема Лагранжа). Если функция f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с (a, b), что выполняется равенство
f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).
Условие теоремы: функция непрерывна и дифференцируема.
Заключение теоремы: существует такая точка с (a, b), что выполняется равенство f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).
Теорема сформулирована в условной форме.
Структура теоремы сложная, т.к. в условии две посылки:
функция непрерывна на отрезке;
функция дифференцируема внутри него.
Логическая связь между посылками конъюнктивная.
Теорема 2 (Теорема о достаточном условии возрастания функции). Если функция y = f(x) непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и ее производная положительна на этом отрезке, f ' (x) ≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на [a,b].
Условие теоремы: функция непрерывна на отрезке, дифференцируема внутри него и производная положительна.
Заключение теоремы: функция возрастает на отрезке.
Теорема сформулирована в условной форме.
Структура теоремы сложная, т.к. в условии три посылки:
функция непрерывна на отрезке;
функция дифференцируема внутри него;
производная положительна.
Логическая связь между посылками конъюнктивная.
Понятие окрестности точки. Множество, содержащее данную точку, и близкие к ней.
Объемом понятия являются все окрестности.
Структура определения конъюнктивная.
Способ определения через ближайший род и видовые отличия.