3.5. Собственные функции и собственные значения операторов

     Основные свойства собственных функций. Значения, которые может принимать данная физическая величина   называют в квантовой механике ее собственными значениями. Нахождение таких значений тесно связано с математической задачей определения собственных функций и соответствующих им собственных значений оператора  .

     Если при действии оператора на некоторую функцию получается та же самая функция, умноженная на число, то есть если

     

,

(3.43)

     то такую функцию называют собственной функцией оператора  , а число   его собственным значением.

      Квантовомеханические операторы имеют не одну, а множество собственных функций и соответствующих им собственных значений. При этом совокупность собственных значений называют спектром оператора. Спектр оператора   считается дискретным, если он состоит из счетного множества значений   для   соответствующих набору собственных функций  , которые представляют собой регулярные решения уравнения вида

     

(3.44)

      Спектр собственных значений оператора может быть и непрерывным, когда в (3.43) оказываются возможными все значения  , либо состоящим из отдельных полос, таких что возможные значения   лежат в ряде интервалов.

      В ряде случаев одному собственному значению   оператора   принадлежит не одна, а несколько собственных функций  . Такие случаи называются вырожденными, а число   таких функций называется кратностью вырождения.

      Из (3.43) следует, что собственные функции, вообще говоря, определены с точностью до некоторой постоянной, значение которой обычно выбирают из условия нормировки собственных функций.

      Докажем, что собственные числа операторов физических величин в квантовой механике всегда являются действительными числами, и это свойство обусловлено самосопряженностью операторов. Действительно, пусть   - самосопряженный оператор, а  - его собственная функция, соответствующая собственному значению  . По определению, функция   является решением уравнения

     

.

(3.45)

     Выполнив здесь операцию комплексного сопряжения, получим

     

.

(3.46)

      Если в соотношении (3.42), которое для самосопряженного оператора выполняется тождественно, положить  , то в результате получим интегральное соотношение

     

,

(3.47)

     которое с учетом (3.45) и (3.46) преобразуется к виду

     

.

(3.48)

     Отсюда следует, что  , т.е собственные значения самосопряженных операторов всегда являются действительными величинами.

      Докажем важное свойство ортогональности собственных функций квантовомеханических операторов. Если   и   - две собственные функции самосопряженного оператора  , соответствующие различным собственным значениям   и  , то они являются решениями следующих уравнений

     

.

(3.49)

      Условие (3.42) самосопряженности оператора  , записанное для функций   и   принимает вид

     

.

(3.50)

     Отсюда с учетом (3.49) получаем

     

.

(3.51)

     Так как для самосопряженного оператора  , то (3.51) преобразуется к виду

     

.

(3.52)

      Если  , то  , и из (3.52) получаем условие ортогональности собственных функций, соответствующих различным собственным значениям,

     

.

(3.53)

      Если волновые функции   и   считать нормированными на единицу, то условие ортогональности (3.53) собственных функций может быть записано как условие ортонормированности

     

,

(3.54)

     где символ Кронекера  , и  .

      В математической теории линейных самосопряженных операторов доказывается, что система собственных функций квантовомеханических операторов является полной системой функций. Это означает, что всякая волновая функция  , определенная в той же области переменных, что и собственные функции оператора, может быть разложена по собственным функциям, то есть представлена в виде ряда

     

.

(3.55)

      Коэффициенты этого разложения (в общем случае комплексные) можно определить, воспользовавшись ортогональностью собственных функций. Действительно, умножим ряд (3.55) на   и проинтегрируем по всему пространству. Тогда, изменив порядок суммирования и интегрирования, получим

     

.

(3.56)

     Отсюда, меняя обозначение   на  , получаем формулу для определения коэффициентов   в разложении (3.55):

     

.

(3.57)

     Если оператор   имеет непрерывный спектр собственных значений  , лежащих в интервале  , то в разложении любой волновой функции по собственным функциям суммирование переходит в интегрирование. Поэтому

     

,

(3.58)

     и непрерывное множество коэффициентов   определяется по формуле

     

.

(3.59)

5. Уравнение Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера.

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения   в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.

Пусть волновая функция задана в n-мерном конфигурационном пространстве, тогда в каждой точке с координатами  , в определенный момент времени t она будет иметь вид  . В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:

где  ,   — постоянная Планка;   — масса частицы,   — внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке   в момент времени  ,   — оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n-мерной системе координат имеет вид: