3.Правило вычисление определителя n-го порядка.

Существует несколько способов вычисления определителей, основными из которых являются: 1. Вычисление определителей 2-го порядка с помощью перемножения элементов главной и побочной диагоналей.

2. Вычисление определителей 3-го порядка путем дописывания строк или столбцов – метод Саррюса.

3. Метод рекуррентных соотношений или метод разложения по элементам какой-либо строки или столбца. Общее выражение для вычисления определителя n – го порядка путем разложения его, например, по элементам первой строки выглядит так 

4. Метод изменения элементов определителя.

Вычисление определителя по определению в общем случае приводит к громоздким вычислениям. Поэтому для вычисления определители порядка выше 3 используют преобразования определителя по свойствам и разложение определителя по строке (столбцу). 

1 способ. Использование теоремы о разложении определителя по строке (столбцу).

2 способ. Использование свойств определителя для преобразования его к виду, когда он содержит строку или столбец с максимальным количеством нулей. Затем производят разложение определителя по этой строке (столбцу).  При этом для преобразований выбирают строку (столбец), содержащую элемент равный 1 (если есть).

3 способ. Используя свойства определителя, преобразовать его к треугольному виду. Тогда величина определителя вычисляется как произведение элементов, стоящих на главной диагонали.

(Ссылка с примерами http://www.cyberforum.ru/post2450455.html )

5.Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы   и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов 

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

 или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A^-1, обратную матрице A:  . Поскольку A^-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A^-1B.

8.Векторы, операции над векторами. Векторное произведение векторов и его свойства.

9. Орт вектора. Коллинеарность и ортогональность векторов

10.Смешанное произведение векторов. Условие компланарности векторов.

11.Прямая на плоскости: общее уравнение; уравнение в отрезках; уравнение с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

•  А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

•  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.