Билет 4. Точные грани числовых множеств. Теорема о существовании точной верхней грани у непустого ограниченного сверху множества (без док–ва).

Опр. Непустое множество A называют ограниченным сверху, если существует такое число K, что x K для всех x ϵ A.

Опр. Непустое множество A называют ограниченным снизу, если существует такое число К, что x k для всех x ϵ A.

Опр. Непустое множество A называется ограниченным, если существует такое число K, что для всех x ϵ A справедливо неравенство |x| K. В самом деле, неравенство |x| K равносильно двойному неравенству -K x K.

Опр. Число M называется точной верхней гранью непустого множества A, если

1) для любого числа x ϵ A справедливо неравенство x M;

2) для каждого числа M’ < M существует число x’ ϵ A такое, что M’< x’. M = sup A

Замечание. M = sup A, если выполняются 2 условия:

1. для любого числа x ϵ A справедливо неравенство x M;

2. для каждого числа и существует число х x’ ϵ A такое, что х>M –

+ стр. 39

Опр. Число m называется точной нижней гранью непустого множества A, если

1) для любого числа x ϵ A имеем m x;

2) для каждого числа m’ > m существует число x’ϵ A такое, что x’ < m’. m=inf A.

Теорема 1.3.1. Если непустое множество A ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань.

Доказательство. Представим числа из A в виде бесконечных десятичных дробей, запретив запись с 0 в периоде. Если среди чисел множества A есть неотрицательные, то задача о существовании точной верхней грани всего множества эквивалентна такой задаче для неотрицательных чисел из A. Поэтому мы вправе исключить из множества A все отрицательные числа. Так как числа из A ограничены сверху, то ограничены сверху целые части этих чисел. Значит, существует наибольшее число среди этих целых частей. Обозначим его M₀.Выберем те числа из A, у которых целая часть равна M₀, и рассмотрим первые десятичные знаки таких чисел. Пусть M₁ – наибольший из этих первых десятичных знаков. Будем далее рассматривать только те числа из A, десятичная запись которых начинается с M₀,M₁. Наибольший второй десятичный знак этих чисел обозначим M₂. Снова оставляем только такие числа из A, десятичная запись которых начинается с M₀, M₁M₂, и проводим аналогичные рассуждения с третьим десятичным знаком. Продолжив неограниченно этот процесс, получим бесконечную десятичную дробь M₀, M₁M₂… Положим M= M₀, M₁M₂… и покажем, что M = sup A.

По построению M ≥ x для любого x ϵ A. С другой стороны, взяв произвольное число M’= M’₀, M’₁M’₂

меньшее M, находим среди чисел 0,1,2,… наименьший индекс k такой, что M’_k,<M_K. Но среди чисел множества A есть число x’, десятичное разложение которого начинается с M₀, M₁M₂…M_k Значит, M’ < x’ и M является точной верхней гранью множества A.

Пусть теперь множество A содержит только отрицательные числа. В представлении чисел x ϵ A в виде бесконечных десятичных дробей x =- x₀, x₁x₂… находим наименьшее из чисел x₀. Обозначим это наименьшее число - M₀. Оставим только те числа из A, представление которых в виде

бесконечной десятичной дроби начинается с M₀. Найдём у этих чисел наименьший первый десятичный знак. Обозначим его M₁. Далее рассматриваем только те числа, десятичное представление которых начинается с M₀,M₁. Находим у таких чисел наименьший второй десятичный знак, обозначаем его M₂ и т. д. Тогда число M=- M₀, M₁M₂… является точной верхней

гранью множества A. В самом деле, неравенство x ≥ M выполняется для всех x ϵ A по построению. А для любого M’ < M находим число x’ ϵ A такое, что x’>M’, с помощью рассуждений, аналогичных проведенным выше.

Замечание. Если множество A не является ограниченным сверху, то пишут supA=+ , если множество А не является ограниченным снизу, то пишут infA=- .

Теорема. Пусть Х и У – непустые множества вещественных чисел и для любого х ϵ Х и у ϵ У выполняется условие х у.

Для любого х ϵ Х и для любого у ϵ У следует х у тогда существует supX, infY и для любого х ϵ Х и уϵУ следует что х supX infY y.

Доказательство. Из х supX infY y. Следует что все элементы множества Х ограничены сверху произвольным фиксированным элементом у из множества У. по теореме 1, существует supX и для любого х ϵ Х следует х supX. Все элементы множества У ограничены снизу произвольным фиксированным элементом х из множества Х. Существует InfY и для любого y ϵ Y следует infY y.

Из за х у теорема доказана.

Теорема 3. Об отделимости числовых множеств. Пусть Х и У непустые множества вещественных чисел такое что, х ϵ Х и у ϵ У выполняется условие х у.

Найдется такая z принадлежащая вещественным числам для х ϵ Х и у ϵ У выполняется условие х zу. zx=supX. Свойство, описанное в теореме, называют свойством полноты или непрерывности множества вещественных чисел.