Билет 2. Элементы теории множеств.

Опр. Множество – совокупность элементов, обладающие некоторыми свойствами.

Опр. Множество – совокупность объектов, которые отличны между собой, а также отличны от объектов не входящие в эту совокупность.

Опр. Множество (Г. Кантр) – есть объединенные в одно целое определенных вполне различных объектов нашей интуиции или мысли.

Обозначают большими латинскими буквами (A,S,D), элементы множества обозначают маленькими латинскими буквами (a,s,d,f).

Если множество задан конечным и небольшим количеством элементов, то можно написать его перечисление A={a,s,d}. Может оказаться так, что не 1 элемент множества не удовлетворяет условию.

Опр. Множество не содержащее ни одного элемента называется пустым множеством (Ø).

Опр. 2 множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Опр. Если любой элемент А принадлежит В, то А называется подмножеством В и пишут АсВ.

Замечание. Если (АсВ)ʌ(ВсА), то А=В.

Замечание. Согласно определению любое множество является подмножеством самого себя .

Замечание. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Опр. Множество состоящее из всех и только тех элементов, которые принадлежат А и В называют пересечением множеств А и В. АᴖВ.

Замечание. Можно рассмотреть пересечения конечных множеств.

Опр. Множество состоящее из всех и только из тех элементов которые ϵ либо А либо В называют объединением А и В. АUВ.

Опр. Разностью А и В называется множество состоящее только из тех элементов, которые не принадлежат В, но принадлежат А.

AUB=BUA; AᴖB=BᴖA; (AUB)UC=AU(BUC); (AᴖB)ᴖC=Aᴖ(BᴖC); (AUB) ᴖC=(AᴖC)U(BᴖC); (AᴖB)UC=(AUC) ᴖ(BUC); AUA=A; AᴖA=A; A\A=Ø; A\Ø=A.

Опр. Пусть множество А есть подмножество В, тогда А*=В\А – дополнение множества А до множества В.

Закон двойственности Августуса Де-Моргана:

хϵ(AUB)*→xɇAUB→(xɇA) ᴖ(ɇB)→(xϵA*)ᴖ(xϵB*)→xϵA*ᴖB* → (AUB)=A*ᴖB*

(AᴖB)*=A*UB*

Билет 3. Вещественные числа и их свойства. Рациональные числа и их свойства.

Рациональным называется число вида а=p/q, где p – целое число, q – натуральное.

Замечание. Выписанная обыкновенная дробь может быть сократимой, а может быть и несократимой.

Замечание. Любое целое число автоматически является рациональным, поскольку a=p/1, где p – целое число.

Q множество рациональных чисел Z<Q

Опр. х² = а, а ϵ N Положительное число х (если такое существует), является решением уравнения и называется квадратным корнем из заданного числа а. оказывается, что уже при а = 2, уравнение не имеет решений на множестве Q

Теорема 1. (Евклида)

Не существует положительного рационального числа, квадрат которого равен 2.

Доказательство. Предположим, что такое число существует. Представим его в виде несократимой обыкновенной дроби x=p/q, (p q)ϵ N, то х² =2. (p/q)² =2↔p²=2q², q²ϵ N→p² – четное число, т. е. p² делится на 2 (p² делится нацело на 2)→p четное число. Предположим противное p – нечетное число→p=2l+1, lϵ Z₊, p²=4l²+4l+1=2(2l²+2l)+1→нечетное число→p=2k, kϵ N. p² четное, (2k)²=2q²↔2k²=q²→q² делится на 2→q делится на 2, т.е. x=p/q – сократима, что и противоречит предположению. Таким образом возникает необходимость добавления к множеству Q, называемых иррациональными.

Замечание. Конечную десятичную дробь будет отождествлять с бесконечной дробью с 0 в периоде. 0,75(0). Зная бесконечную периодическую дробь можно найти рациональное число, представлением которого она является используя формулу для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии где 0<q<1.

Замечание. Заметим, что Q представленная десятичной дробью с нулем в периоде (0) также можно записать в виде бесконечной десятичной дроби с 9 в периоде (9).

Множество вещественных чисел.

Дробь ±a₀,a₁a₂a₃a₄… эта дробь определяется заданием знака ± целого неотрицательного числа a₀ и последовательностью десятичных знаков состоящих из 10 чисел (0,1…8,9). Если перед дробью стоит +, то его опускают и пишут E=a₀a₁a₂a₃a₄. Число вида E=a₀a₁a₂a₃a₄ называют неотрицательным вещественным числом, а в случаи, когда хотя бы 1 из чисел a₀,a₁a₂a₃a₄ отлично от нуля, то положительным вещественным числом.

Число вида Т=- a₀,a₁a₂a₃a₄ называют отрицательным вещественным числом когда хотя бы 1 из чисел a₀,a₁a₂a₃a₄ отлично от нуля.

Опр. Если E= a₀,a₁a₂a₃a₄, а Т=- a₀,a₁a₂a₃a₄, то число Т называют противоположным Е. – (-Е)=Е.

Опр. Если E= a₀,a₁a₂a₃a₄ является периодической, то ее называют иррациональным числом. Множество всех бесконечных дробей вида E= a₀,a₁a₂a₃a₄ называют множеством всех действительных чисел.

и Т называют n-ными десятичными приближениями с избытком и недостатком соответственно. Т =- a₀,a₁a₂a₃a₄ -1/10n =- a₀,a₁a₂a₃a₄…a_n

Опр. Числа a = ± a₀,a₁a₂a₃a₄ … и b = ± b₀,b₁b₂b₃b₄ … называют равными, если они имеют одинаковые знаки и a_k = b_k при каждом k = 0; 1; 2… В этом случае пишут a = b, в противном случае пишут a≠b.

Опр. Пусть числа a и b не равны между собой. Тогда:

О положительных числах a и b говорят, что a меньше b, и пишут a < b, если существует индекс k = 0,1,2… такой, что a_k < b_k, а при всех i, меньших k, справедливы равенства a_i = b_i

Если одно из чисел положительно, а второе отрицательно, то отрицательное число меньше положительного.

Если числа a и b отрицательны и |b| < |a|, то a < b.

Если a < b, то говорят также, что b больше a и пишут b > a.

Неравенства a < b и b > a считаются равносильными

Теорема 1. Пусть a и b – произвольные числа и a < b. Тогда существует рациональное число λ такое, что a < b

Доказательство. Пусть сначала a > 0, a a₀,a₁a₂a₃a₄ b = b₀,b₁b₂b₃b₄ … и в этих представлениях не используется цифра 9 в периоде. Найдём наименьший индекс k такой, что a_k < b_k, и индекс m > k такой, что a_m < 9. В качестве λ можно взять конечную десятичную дробь a₀,a₁a₂a₃a₄…a_m-1d, у которой m-й десятичный знак d равен a_{m + 1}. Если a и b имеют разные знаки, берём λ = 0. А если b ≥ 0, то находим рациональное число такое, что |b|<ß<|a|, и полагаем λ:=ß.

+стр 35