Общие наблюдаемые переменные, которые подчиняются принципу неопределённости

- самое известное отношение неопределённости — между координатой и импульсом частицы в пространстве:

- отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:

где       различны и   обозначает угловой момент вдоль оси  .

- следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:

Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя. Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства.

48. Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера

Волновая функция системы удовлетворяет уравнению Шредингера (2.1)

где обозначает координаты частиц. Это же уравнение может быть выписано во мнимом времени .

(2.2)

Точка отсчета энергии вводится явно для улучшения численной устойчивости метода, как будет объяснено ниже.

Уравнение (2.2) может быть непосредственно проинтегрировано по мнимому времени, что дает

(2.3)

Разложение волновой функции по волновым функциям стационарных состояний ( , ) имеет вид

(2.4)

Амплитуды слагаемых при эволюции изменяются во времени, либо увеличиваясь, либо уменьшаясь в зависимости от знака . В любом случае, на больших временах преобладает компонента, соответствующая проекции на основное состояние. По сравнению с ней проекции на возбужденные состояния затухают экспоненциально быстро

(2.5)

По прохождении достаточно большого промежутка времени норма волновой функции останется конечной только в том случае, если параметр в точности равен . Таким образом, энергия основного состояния может быть найдена из подстройки параметра с тем, чтобы норма волновой функции была константой.

Рассмотрим систему из частиц, введя в гамильтониан двухчастичное взаимодействие (2.6)

Уравнение Шредингера имеет вид (2.7)

где использованы обозначения: и . Без ущерба для последующих рассуждений в можно включить также и любое внешнее поле, зависящее только от координат частиц и не зависящее от их импульсов. Метод работает гораздо более эффективно при использовании выборки по важности. Для этого уравнение Шредингера должно решаться для измененной волновой функции2.1

(2.8)

Здесь -- пробная волновая функция, аппроксимирующая точную волновую функцию системы . Уравнение на функцию распределения есть (2.9)

где обозначает локальную энергию, т.е. среднее от гамильтониана по пробной волновой функции

(2.10)

а -- сила дрейфа, пропорциональная градиенту пробной волной функции, и, как следствие, действующая в сторону возрастания 2.2

(2.11)

49. Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме.

Зададим потенциальную функцию U(x) в виде U(x)=∞ при х<0 x>a. U(x)=0 при 0≤х≤a. Такое потенциальное поле называется потенциальной ямой. Т.к. яма бесконечно глубокая, то за её пределы частица выйти не может и следовательно вероятность обнаружить частицу в области 1 и 3 =0.=> в области 1 и 3 ψ(х)=0.

Т.к. волновая функция должна быть непрерывной, то ψ(0)= ψ(a)=0. Запишем уравнение Шредингера для области 2: d(c.2)ψ/dx(c.2) + (2m/h(в)(с.2))*E ψ = 0

Обозначим k(c. 2)= (2m/h(в)(с.2))*E.

Ψ’’+ k(c. 2)Ψ=0. — волновое уравнение, решением которого является функция вида: ψ(х)=b*sin(kx+α). Из условия ψ(0)=b*sin(0+α)=0, sin(0+α), α=0. ψ(a)=b*sin(ka+α)=0//b<>0=>ka=πn, где n=1,2,3,…=>

k=πn/a, где n=1,2,3,… π(c.2)n(c.2)/a(c.2)=2mE/h(в)(с.2)=>

E=π(c.2)*h(в)(с.2)n(c.2)/2ma(c.2).

Частицы внутри потенциальной ямы могут только дискретный ряд значений, т.е. частицы в потенциальной яме квантуются. n-главное квантовое число, оно определяет энергию микрочас-цы. b определим из условия нормировки волновой функции: =>b= . Волновая функция частицы внутри потенциальной ямы имеет вид: ψ(х)= √(2/a) sin(πnx/a).

50. СПИН (ЭЛЕКТРОНА). Помимо энергии, связанной с движением вокруг ядра атома, электрон обладает еще и дополнительной энергией, связанной с вращением вокруг своей оси наподобие волчка, откуда и происходит слово спин (спин — по-английски верчение). Поскольку же электрон имеет электрический заряд, то при его вращении возникает круговой электрический ток, а следовательно, и магнитное поле, превращающее электрон в маленький электромагнитик, имеющий два магнитных полюса. Так как электрон может вращаться в разных направлениях — по часовой стрелке и против нее, то он может пребывать в двух различных энергетических, или, как говорят, спиновых, состояниях. Спин электрона вызывает ряд дополнительных взаимодействий, играющих исключительно важную роль в физических свойствах атома.

Спином обладают и другие элементарные частицы: протон, нейтрон, а также кванты излучений — фотоны. Согласно законам квантовой теории спин имеет строго определенную величину, характерную для данной частицы. В системе единиц, принятой в квантовой теории, спин электрона, а также протона и нейтрона равен 1/2. Спин фотона равен 1.

Вектор спина электрона Ls направлен в общем случае под углом к направлению вектора напряженности магнитного поля вещества (магнитной индукции В). А модуль проекции спина электрона LsВ на направление вектора магнитной индукции В определяется по уравнению:

LsВ = ± ħ/2 , ( 1 )

Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по состояниям

Если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, т.к. для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной. Обобщая опытные данные, В. Паули сформировал принцип исключения, согласно которому системы фермионов встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями (квантово-механическая формулировка принципа Паули). Паули Вольфганг (1900–1958) – физик-теоретик. Работы относятся ко многим разделам современной теоретической физики, в развитии которых он принимал непосредственное участие, в частности квантовой механике, квантовой электродинамике, теории относительности, квантовой теории поля, ядерной физике, физике элементарных частиц.

Из этого положения вытекает более простая формулировка принципа Паули, которая и была введена им в квантовую теорию (1925 г.) еще до построения квантовой механики: в системе одинаковых фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. Отметим, что число одинаковых бозонов, находящихся в одном и том же состоянии, не лимитируется.

Напомним, что состояние электрона в атоме однозначно определяется набором четырех квантовых чисел:

· главного n ;

· орбитального l , обычно эти состояния обозначают 1s, 2d, 3f;

· магнитного ( );

· магнитного спинового ( ).

Распределение электронов в атоме происходит по принципу Паули, который может быть сформулирован для атома в простейшем виде: в одном и том же атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел: n, l, , :

Z (n, l, , ) = 0 или 1,

где Z (n, l, , ) - число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемых набором четырех квантовых чисел: n, l, , . Таким образом, принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме различаются значениями, по крайней мере, одного квантового числа.

Максимальное число электронов, находящихся в состояниях, описываемых набором трех квантовых чисел n, l и m, и отличающихся только ориентацией спинов электронов равно: , (8.2.1)

ибо спиновое квантовое число может принимать лишь два значения 1/2 и –1/2.

Максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяемых двумя квантовыми числами n и l: . (8.2.2)

При этом вектор орбитального момента импульса электрона может принимать в пространстве (2l + 1) различных ориентаций (рис. 8.1).

Рис. 8.1

Максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяемых значением главного квантового числа n, равно: . (8.2.3)

Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число n, называется электронной оболочкой или слоем.

В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующим данному l.

Область пространства, в которой высока вероятность обнаружить электрон, называют подоболочкой или орбиталью. Вид основных типов орбиталей показан на рис. 8.1.

Поскольку орбитальное квантовое число принимает значения от 0 до , число подоболочек равно порядковому номеру n оболочки. Количество электронов в подоболочке определяется магнитным и магнитным спиновым квантовыми числами: максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно 2(2l + 1).