3.2.4 Отыскание среди тупиковых днф кратчайших и

минимальных

Перейдем к последнему шагу алгоритма Квайна – Мак-Клоски. Среди найденных тупиковых ДНФ найдем кратчайшие и минимальные. Можно легко показать, что минимальная ДНФ всегда является кратчайшей, но обратное неверно. Так, х₁х₂ + ¬х₂ = х₁ + ¬х₂ и первая ДНФ кратчайшая, но не минимальная. Вторая ДНФ минимальна, следовательно, представляемую ею функцию нельзя представить ДНФ, содержащей менее двух элементарных конъюнкций. Но в первой ДНФ три литерала, а во второй – два.

Из пяти тупиковых ДНФ, соответствующих функции Патрика (**) предыдущего пункта, кратчайшими являются две. Каждая из них минимальна, так как обе они имеют одинаковое число литералов.

Пример: Рассмотрим карту Карно на рисунке 3.10.

Рисунок 3.10

В результате проведения склейки получим следующую сокращенную ДНФ:

¬x₁¬x₃ + ¬x₁¬x₂ + ¬x₂¬x₄ + ¬x₂¬x₃ + ¬x₃x₄ + x₁x₂x₄ + x₁x₂x₃ + x₁x₃¬x₄.

Ядро составляют склейки ¬x₁¬x₃, ¬x₁¬x₂.

Шесть клеток, содержащих 1, на карте Карно остаются непокрытыми ядровыми склейками. Обозначим неядровые склейки К₁, …, К₆ и составим для них функцию Патрика:

(К₃ + К₄)(К₄ + К₅)(К₅ + К₆)(К₁ + К₂)(К₂ + К₃)(К₁ + К₆).

Преобразуя ее, получаем

К₁К₃К₅ + К₂К₄К₆ + К₂К₃К₅К₆ + К₁К₂К₄К₅ + К₁К₃К₄К₆.

Имеем, следовательно, пять тупиковых ДНФ. Запишем их для наглядности так:

Из этих пяти тупиковых ДНФ кратчайшими являются первая и вторая. Из них, в свою очередь, минимальной является первая, так как она содержит на один литерал меньше.

В итоге получаем минимальную ДНФ в виде:

¬х₁¬х₃ + ¬х₁¬х₂ + ¬х₂¬х₄ + ¬х₃х₄ + х₁х₂х₃.

В данном случае минимальная ДНФ оказалась единственной, хотя, как мы видели в ранее разобранных примерах, в общем случае могут существовать несколько минимальных ДНФ.

3.3 Метод Блейка. Таблицы Квайна

Техника карт Карно является удобным и наглядным способом реализации алгоритма Квайна – Мак-Клоски. Но существуют и другие способы проведения склейки, т.е. получения сокращенной ДНФ для исходной функции. Одним из таких способов является чисто алгебраический метод Блейка, состоящий в том, что к любой ДНФ, представляющей функцию, применяются следующие тождества:

хК₁ + ¬хК₂ = хК₁ + ¬хК₂ + К₁К₂,

К₁ + К₁К₂ = К₁.

Первое из этих тождеств называют тождеством обобщенного склеивания, а второе – тождеством поглощения.

Технология применения метода Блейка такова: применяют тождество обобщенного склеивания до тех пор, пока не перестанут появляться новые элементарные конъюнкции вида К₁К₂. После этого применяют тождество поглощения.

Как только сокращенная ДНФ тем или иным способом найдена, приступают к нахождению ядра. Ядро можно определить и без использования карты Карно с помощью так называемой таблицы Квайна. Столбцы этой таблицы соответствуют элементарным конъюнкциям исходной СДНФ, а строки – склейкам сокращенной ДНФ. На пересечении строки и столбца ставится знак "+", если склейка данной строки покрывает элементарную конъюнкцию данного столбца. Ядро вычисляется так: отмечаем столбцы с единственным знаком "+", тогда склейки только тех строк, в которые попал этот знак, образуют ядро.

Для предыдущего примера (рисунок 3.10) получим таблицу Квайна (таблица 3.1).

Таблица 3.1

	0001	0011	0010	0101	0111	0110	1100	1000	1010
0хх1	+	+		+	+
0х1х		+	+		+	+
10х0								+	+
х010			+						+
1х00							+	+
	*			*		*	*

В целях экономии места элементарные конъюнкции в таблице заменены цифровыми обозначениями соответствующих вершин и граней булева куба – точно также как при обозначении прямоугольников на карте Карно. Ядровые склейки выделены жирным шрифтом.

По таблице Квайна можно составить и функцию Патрика для перечисления тупиковых ДНФ. Для этого нужно отметить все столбцы таблицы, в которых на пересечении со строками, соответствующими ядровым склейкам, не стоит знак "+". Для рассматриваемого примера таким является только последний столбец. Чтобы покрыть соответствующую элементарную конъюнкцию СДНФ, можно выбрать одну из двух простых склеек: х₁¬х₂¬х₄ или ¬х₂х₃¬х₄.