55. Элементы теории матричных игр. Цена игры, стратегии

В теории игр исследуются модели и методы принятия решений в конфликтных ситуациях. В рамках теории игр рассматриваются парные игры (с двумя сторонами) или игры многих лиц. Участников игры принято называть игроками.

Игра состоит из последовательности действий (ходов), которые подразделяются на личные (совершаемые игроками осмысленно на основе некоторого правила – стратегии) и случайные (не зависящие от игроков). В теории игр рассматриваются ситуации, в которых обязательно присутствуют личные ходы.

Стратегия игрока – это набор правил, используемых при выборе очередного личного хода.

Целью игры является нахождение оптимальной стратегии для каждого игрока, т. е. такой, при которой достигается максимум ожидаемого среднего выигрыша при многократном повторении игры. Предполагается, что игроки ведут себя разумно, исключаются элементы азарта и риска.

Матричная игра – это парная игра, которая задается набором чистых стратегий {1...n} и {1....m} первого и второго игроков, а также платежной матрицей (Ay)mxn, определяющей выигрыш первого игрока при выборе игроками стратегий i и j соответственно. Целью первого игрока является максимизация своего выигрыша, а целью второго – минимизация выигрыша противника.

Стратегия игрока – это набор правил для определения варианта действий, используемых при выборе каждого личного хода.

Результат ходов игроков оценивается платежными функциями участников игры, которые можно интерпретировать как их выигрыши. Если сумма выигрышей всех игроков равна нулю, то такую игру называют игрой с нулевой суммой.

Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры его средний выигрыш максимален.

В дальнейшем будем считать, что игроки ведут себя разумно (без риска и азарта). В рамках данного пособия рассмотрим матричные игры.

Стратегии бывают чистыми (неслучайные решения игроков) и смешанными (стратегию можно рассматривать как случайную величину).

Нижняя цена игры α — это максимальный выигрыш, который мы можем гарантировать себе, в игре против разумного противника, если на протяжении всей игры будем использовать одну и только одну стратегию (такая стратегия называется "чистой").

Верхняя цена игры β — это минимальный проигрыш, который может гарантировать себе игрок "В", в игре против разумного противника, если на протяжении всей игры он будет использовать одну и только одну стратегию.

56.Игры с природой. Основные понятия и определения.

Игровая модель – модель, в которой не ставится задача найти какое-то числовое решение, а требуется лишь очертить область возможных решений или предоставить некоторые дополнительные сведения о возможном развитии событий и рекомендовать правила поведения.

Игра с противодействием – конфликтная ситуация, развивающаяся спонтанно.

Игровая модель строится по определенным законам, а игроки придерживаются определенных правил.

Парная игра – игра с участием минимум двух человек.

Множественная игра – игра с участием нескольких человек.

Стратегическая игра – это игра при которой существует придерживание определенных правил игроком, во время игры он может менять вариант своего поведения, то есть сменить стратегию.

Конечная игра – игра содержащая ограниченное количество стратегий.

Бесконечная игра – не имеющая ограничений на стратегию.

Оптимальная стратегия – приносящая игроку максимальный выигрыш.

Нулевая сумма – сумма выигрыша одного игрока является суммой проигрыша другого, итого в сумме нуль.

Нижняя цена игры – минимально гарантированный выигрыш.

Верхняя цена игры – минимально возможный проигрыш.

Неустойчивая стратегия – стратегия, при которой фирма не знает планов конкурента и не может выбрать другую стратегию.

Устойчивая стратегия – стратегия, при которой нижняя цена игры = верхней цене игры (задача с Седловой точкой)

Формулировка осторожной стратегии – получить максимальный доход из возможных минимальных.

Смешанная стратегия – задача не имеет седловой точки, использование двух и более стратегий.

Доминирующая строка – строка, содержащая элементы большие или равные соответствующим элементам другой строки, называемой поглощаемой.

Доминирующий столбец – столбец, содержащий элементы меньшие