29. Графовые модели. Способы задания графа.

Графом G(V,E) называется совокупность двух множеств - непустого множества V- множества вершин и множества E-двухэлементных подмножеств множества V.

Степень вершины- кол-во ребер, инцидентных этой вершине.

Маршрут- чередующаяся последовательность вершин и ребер графа V0,L1,V1,L2....Lk,Vk, в которой любые два соседних элемента инцидентны.

Цепь- такая последовательность ребер графа, при которой любые два соседних ребра имеют общую вершину.

Цепь наз-ся циклом, если начальная вершина совпадает с конечной.

Полустепень исхода- кол-во дуг, исходящих из вершины Ei.

Полустепень захода- кол-во дуг, входящих в вершину Ei.

Дерево- связный граф без цикла.

Остов- дерево, содержащее все вершины графа.

Минимальное охватывающее дерево- охватывающее дерево минимального веса.Способы задания графов:

Графы принято изображать рисунками, состоящими из точек, называемыми вершинами, и линий, называемыми дугами, соединяющими две вершины графа.

Форма дуг несущественна, важен только сам факт соединения вершин. Дуги могут пересекаться, но точки пересечения не являются вершинами графа.

Если дуги имеют направление (ориентацию), отмеченное стрелкой, то такие графы называются ориентированными или орграфами. Дуга в орграфе, имеющая направление от вершины vi к вершине vј , называется выходящейиз вершины vi и заходящей в вершину vj. При этом вершина vi называется началом дуги, а vj – ее концом.

Дуга, выходящая из вершины и входящая в нее, называется петлей.

Дуги орграфа называются параллельными, если они соединяют две одинаковые вершины графа и имеют одно направление.

Дуги орграфа называются противоположными, если они соединяют две одинаковые вершины графа и противоположно направлены.

32.Задачи о нахождении кратчайших путей в графе. Алгоритм Дейкстры.

С помощью алгоритма Дейкстры мы ищем минимальное расстояние от одной вершины графа ко всем остальным.

Начинается алгоритм с того, что каждой вершине мы присваиваем метки.Метка вершины, из которой мы ищем расстояние полагается равной нулю, метки остальных вершин- бесконечности.(это отражает, что расстояния от начальной до других вершин пока неизвестно)Все вершины графа помечаются как непосещенные. В метках используются два числа.(первое- номер вершины, из которой пришли в данную, второе- расстояние от начальной вершины до данной).

Если все вершины посещены- алгоритм завершает работу, в противном случае из его непосещенных вершин выбирается вершина U, имеющая минимальную метку.Рассматриваем всевозможные маршруты, в которых U является предпоследним пунктом.(т. е. рассматриваем соседей вершины U).Для каждого соседа рассмотрим новую длину пути, равную сумме текущей метки и длине ребра. Если полученная длина меньше, то заменяем в соседней вершине метку.Рассмотрев всех соседей, пометим вершину U как посещенную, повторим шаг.