8. Показатели эффективности чистых стратегий. Максиминные и минимаксные стратегии.

Показатель эффективности: минимальный выигрыш игрока А.

Максиминный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором максимизируется показатель эффективности.

При этом выигрыш – максимин, или нижняя цена игры.

Минимаксный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором минимизируется показатель неэффективности.

При этом проигрыш - минимакс, или верхняя цена игры.

9. Нижняя и верхняя цены игры в чистых стратегиях. Доказательство теоремы о сравнении нижней и верхней цен игры в чистых стратегиях. Цена игры в чистых стратегиях.

Если игрок В придерживается своей минимаксной стратегии а игрок А - любой своей стратегии A_k, k = 1, ..., т, то для проигрыша игрока В в ситуации (A_k, ), с использованием равенств и , получим неравенство

которое говорит о том, что игрок В, придерживаясь своей минимаксной стратегии, не может проиграть больше минимакса β независимо от действий противника А. В силу этого величина β называется верхней ценой игры в чистых стратегиях.

Для нахождения нижней и верхней цен игры удобно матрицу игры увеличить в размерах, приписав (n+1)-й столбец показателей эффективности α_i: стратегий А_i игрока А и (т+1)-ю строку показателей неэффективности β_j стратегий B_j игрока В. В результате получим следующую матрицу:

Bj Ai	B1	B2	…	Bn	αi
A1	a11	a12	…	a1n	α1
A2	a21	a22	…	a2n	α2
…	…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn	αm

Ниже представлена теорема, которая устанавливает соотношение между показателями эффективности α_i стратегий A_i игрока А, показателями неэффективности β_j стратегий B_j игрока В и выигрышами а_ij и, как следствие этого соотношения, - неравенство между нижней и верхней ценами игры в чистых стратегиях.

Теорема: Для элементов матрицы имеют место неравенства

α_i ≤ a_ij ≤ β_j, i = 1, ..., m, j = 1, ...,n,

и, следовательно, нижняя цена игры не больше ее верхней цены в чистых стратегиях:

α ≤ β.

Доказательство. По определению показателей эффективности α_i стратегий А_i игрока А и определению показателей неэффективности β_j стратегий B_j игрока В имеем

следовательно, неравенства α_i ≤ a_ij ≤ β_j, i = 1, ..., m, j = 1, ...,n, доказаны.

Так как доказанное неравенство α_i ≤ β_j справедливо для любых i = 1, ..., т, j =1, ..., п, то оно будет справедливым в частности для номеров i = i₀ и j = j₀ соответственно максиминной и минимаксной стратегий и .

Тогда в силу равенств и получим требуемое неравенство α ≤ β.

Стратегии и игроков А и В, создающие равновесную ситуацию , называются оптимальными. Обозначим через и - множества чистых оптимальных стратегий соответственно игроков А и В.

Если нижняя цена игры α равна верхней цене β, то их общее значение γ = α = β называется ценой игры в чистых стратегиях.

Для того чтобы существовала цена игры в чистых стратегиях, т. е. для того чтобы нижняя цена игры α равнялась верхней цене игры β, необходимо и достаточно существование у матрицы этой игры седловой точки.