III Понятие обусловленности матриц

Ax = B , x = A⁻¹ B

Очевидно, что в практических задачах, вследствие погрешностей измерений коэффициенты A , а зачастую и свободные члены B неточны. Поэтому, вместо точного решения мы имеем дело с приближенным. Влияние на решение оказывают и погрешности округления.

О. – Обратная матрица A^{− 1} называется устойчивой к погрешностям исходных данных, если малым изменениям в элементах матрицы A соответствуют малые изменения

в элементах обратной матрицы A⁻¹ .

Очевидно, что для определения обратной матрицы A⁻¹ , необходимо чтобы

определитель		A		был бы не слишком мал, так как A−1 =	A *	, и если 0 ≤ det A ≤1, то
					det A

деление преобразуется в умножение, и погрешность растёт.

Если определитель мал, то элементы обратной матрицы достаточно велики и незначительные изменения в матрице A влекут значительные изменения в обратной

матрице A⁻¹ , а значит и в решении уравнения x = A⁻¹ B . В этом случае, матрица A называется плохообусловленной, так как A⁻¹ неустойчива.

Системы линейных алгебраических уравнений

9

_{П. –} ^1.11x1 ^{+ x}2 ^{= 3.11} x₁ + 0.90x₂ = 2.80

Если все коэффициенты и свободные члены точны, то:

x₁ = 2.80 −0.90x₂

1.11(2.80 −0.90x₂ )+ x₂ = 3.11 3.108 −0.999x₂ + x₂ = 3.11

x =	1
	2
det A =							1.11	1				= −0.001
							1	0.90
Т. е. есть основание предполагать, что элементы A−1 велики.
A−1	=		−900					1000
			1000					−1110

Предположим, что свободные члены имеют следующие погрешности:

−0.01

• _{+ 0.01}

Тогда

~

3.11

−0.01

3.10

B = B + =

+

=

2.80

+ 0.01

2.81

~

= A

−1 ~

−900

1000

3.10

20

x

B

=

⋅

=

1000

−1110

2.81

−19.1

То есть ответ не имеет ничего общего с x .

Решение плохообусловленных СЛАУ осуществляется с помощью специальных методов. Например, методом регуляризации академика Тихонова.

Для характеристики обусловленности матриц используются числа обусловленности. Например, M −число Тюринга:

M −число = ¹_n M ( A )M ( A ⁻¹ ) где M ( A )= n ⋅max_i,j a_ij

13. ( A ⁻¹ )= n ⋅max a_ij⁻¹

i, j

n - порядок исходной матрицы коэффициентов

Для рассмотренного примера: M −число =	1	⋅2 ⋅1.11	⋅2	⋅1110	= 2464
	2
Системы линейных алгебраических уравнений					10

Из решения практических задач: число обусловленности >10³ говорит о плохой обусловленности.

Признаки хорошей обусловленности системы нормальных уравнений (количество неизвестных равно количеству уравнений):

• квадратичные коэффициенты, стоящие на главной диагонали, заметно превосходят по величине остаточные

• неквадратичные группируются вокруг главной диагонали

• свободные члены не велики по модулю

Воспрос 3

Определение 3.1. Матрицы одинаковой размерности называются равными, если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах. Определение 3.2. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0. Определение 3.3. Квадратная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на ее главной диагонали, равны 1, а остальные равны 0. Линейные операции над матрицами. 1. Сложение матриц. Определение 3.4. Суммой матриц А и В одинаковой размерности mn называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах:  Свойства сложения: 1. А + В = В + А. 2. (А + В) + С = А + (В + С) . 3. Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц. Замечание 2. Отметим еще раз, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности. Пример. 2. Умножение матрицы на число. Определение 3.5. Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число. Свойства умножения матрицы на число: 1. (km)A=k(mA). 2. k(A + B) = kA + kB. 3. (k + m)A = kA + mA. Замечание 1. Справедливость свойств следует из определений 3.4 и 3.5. Замечание 2. Назовем разностью матриц А и В матрицу С, для которой С + В =А, т.е. С = А + (-1)В. Пример. . Тогда  Перемножение матриц. Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго. Определение 3.6. Произведением матрицы А размерности mp и матрицы В размерности называется матрица С размерности , каждый элемент которой определяется формулой: Таким образом, элемент представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. Пример. . При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА. Размерность матрицы С=АВ составляет Найдем элементы матрицы С:  Итак,  Теорема 3.1 (без доказательства). Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей. Замечание. Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е. Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения размерностей (см. предыдущий пример). Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности (если ). Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны. Однако в некоторых случаях произведения АВ и ВА совпадают. Рассмотрим произведение квадратной матрицы А на единичную матрицу Е того же порядка: Тот же результат получим и для произведения ЕА. Итак, для любой квадратной матрицы А АЕ = ЕА =А. Обратная матрица. Определение 3.7. Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если . Определение 3.8. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается . Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления. Теорема 3.2. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной. Доказательство. 1) Необходимость: так как то (теорема 3.1), поэтому  2) Достаточность: зададим матрицу в следующем виде: . Тогда любой элемент произведения (или ), не лежащий на главной диагонали, равен сумм