Вопрос 2

Системы линейных алгебраических уравнений

1. Понятие СЛАУ

2. Правило Крамера решения СЛАУ

3. Метод Гаусса

4. Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли

5. Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц

1) Понятие слау

О. – СЛАУ – система m уравнений с n неизвестными вида:

a11 x1 + a12 x2	+... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2	+... + a2n xn = b2	(1)
...

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ +... + a_mn x_n = b_m

Где a_ij - коэффициенты системы (1), принадлежащие полю действительных чисел P ; b_i - свободные члены, принадлежащие полю действительных чисел P .

Если все b_i равны нолю, то система (1) называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Решением СЛАУ называется всякая последовательность элементов c₁ , c₂ ,..., c _j ,

принадлежащих полю действительных чисел P , если все элементы этой последовательности при подстановке в заданном порядке в систему (1) вместо неизвестных x _j ,будут удовлетворять каждому уравнению и принадлежать заданной

области чисел. Совокупность таких последовательностей – множество решений системы, если оно не пусто, то система называется совместной, если пусто – несовместной.

Система (1) называется определённой, если она имеет одно решение (один набор элементов c _j ), неопределённой – более одного решения.

Две СЛАУ называются эквивалентными, если они имеют одинаковые множества решений.

2) Правило Крамера решения слау

Рассмотрим систему n уравнений с n неизвестными вида:

a11 x1 + a12 x2		+... + a1n xn = b1
a21 x1	+ a22 x2	+... + a2n xn = b2	(2)
...
an1 x1	+ an2 x2	+... + ann xn = bn

Системы линейных алгебраических уравнений

1

Определитель					матрицы составленной из коэффициентов системы (2), называют
определителем СЛАУ.
=		a11	...	a1n
		...	...	...		(3)
		an1	...	ann

Если определитель системы не равен нолю, то СЛАУ называют крамеровской.

Определитель _{X j} , полученный из определителя (3) заменой j-го столбца столбцом свободных членов называется определителем переменной x _j .

Т. – Крамеровская система линейных уравнений определённа, её единственное решение:

x j =				x j
		2x1 + x2 +3x3 = 9
П. – x1 − 2x2 + x3 = −2
		3x1 + 2x2 + 2x3 = 7
		2		1		3
=		1		− 2 1				= −8 + 6 +3 +18 − 4 − 2 =13
		3		2		2

					9											1		3
x	=								− 2							− 2		1												= −13
1					7											2		2
									2							9		3
x2 =									1								− 2		1				= 26
									3							7		2
							2										1		9
x	=						1										− 2		− 2												= 39
	3						3										2		7
x	=	−13														= −1
1		13
x2	=		26										= 2
		13
x3	=	39											= 3
		13
																														Системы линейных алгебраических уравнений			2

З. – Формулы Крамера имеют довольно простой вид, но при их использовании количество вычислений сравнительно велико, поэтому, если число уравнений больше 5, то они не используются. Кроме того способ Крамера не устойчив к ошибкам округления в ходе вычислений.