II Вычисление обратной матрицы путём решения системы линейных уравнений

Из условия обратимости
AA−1 = A−1 A = E	(13)
обозначив A−1 = X , получим:
AX = E	(14)
Системы линейных алгебраических уравнений	8

Уравнение (14) представляет собой матричную систему линейных алгебраических уравнений. Если матрица A имеет порядок n , то уравнение можно переписать:

							A								x	1				x		j			x		n									e1		e 2			e j			e n
64447444864444744448																																		6447448
a				a			...		a				x		...				x					...					x						1					0			...		0
	11		12			...		a		1n11					...			x			1 j			...				x			1n						0		1			...			0
	a	21		a	22							x	21	2 j									2n
											2n																																					(15)
E =							...		...						... ...									...		...						=						...			...			...
... ...						...																										...
				an2			...								...			xnj						...													0		0			...			1
an1									annxn1																			xnn

В уравнении (15) введём обозначения столбцов матриц X и E . Эти столбцы представляют собой некоторые векторы, и поэтому, можно записать:

A(

1

2...

n )= (

1

2...

n )

(16)

x

x

x

e

e

e

Матричная СЛАУ (16) решается следующим образом:

1 =

1

(17)

- составляются уравнения вида Ax

e

• уравнения (17) решаются например методом Гаусса, в результате чего находят координаты вектора x1 , представляющие собой первый столбец матрицы A⁻¹

• составляются и решаются уравнения вида (17) для x 2 , x3 и так далее до xn .

З. – Этот способ нахождения обратной матрицы, основной при решении практических задач. Вычисление обратной матрицы с помощью союзной используется только при n < 5 .