I II Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему (1).

A(a_ij )_mn - матрица коэффициентов.

a	...	a
11		1n
B = ... ... ...
	...	amn
am1

^b1

... - расширенная матрица

^bm _m( _{n +1})

З. – r( B )≥ r(A), но если больше, то только на 1.

Т. – СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда r(A)= r(B).

О. – Совместная СЛАУ ( r(A)= r(B)) определённа, если её ранг равен числу неизвестных, и неопределённа, если ранг меньше числа неизвестных.

Системы линейных алгебраических уравнений

7

5) Решение слау обращением матрицб понятие обусловленности матриц

I Решение слау обращением матриц

Система (1) может быть записана в матричной форме:

Ax = B

(11)

x

A = (a

)

1

где

ij

,

x =

x2

mn

...

xn

n1

З. – Для удобства записи, матрицы столбцы обычно записывают в строку:

x = ( x1		x2	...	xn )T
b
1
b2		=	(b1	T
B =				b2 ... bn )
...
b
n

Характер множества решений матричного уравнения (11) зависит от r( A ), r(B) и

количества неизвестных n .

Для матричного уравнения (11) возможны следующие решения:

• уравнение не имеет решения, если r(A)< r(B) (СЛАУ несовместна )

• уравнение имеет бесконечное множество решений, если r( A ) = r( B )< n (СЛАУ неопределённа)

• уравнение имеет единственное решение, если r(A)= r(B)= n (СЛАУ

определённа)

В частности, если матрица A квадратная и имеет порядок n , то решение (11) выглядит следующим образом:

- умножим уравнение (11) на A⁻¹ слева ( A⁻¹ Ax = A⁻¹ B )

- тогда x = A⁻¹ B (12)

(где B - матрица-столбец свободных членов, A⁻¹ - обратная матрица)