4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли

I Понятие ранга матрицы

Рассмотрим матрицу A_mn , состоящую из коэффициентов a_ij :

a	...	a
11		1n
A = ...	...	...
	...
am1		amn mn

О. – Рангом матрицы (рангом матрицы по минорам) называют максимальный порядок отличного от ноля минора данной матрицы ( rang(A), r(A)).

Соответственно r(0 )= 0

Системы линейных алгебраических уравнений

5

Пусть r( A)= r , это значит, что из матрицы A можно составить минор порядка r , отличный от ноля, соответственно все остальные миноры больших порядков равны нолю.

Минор порядка r матрицы коэффициентов неравный нолю, говорит о том, что система уравнений имеет r линейно независимых уравнений.

			1			− 2 −3											0
				2		3									8
П. – A =																	7
					−1	1									1
																	−1 3,4
r( A )≥1
det		1	− 2		= 7 ≠ 0 ⇒ r( A )≥ 2
		2	3
	1		− 2			−3									= 3 −6 +16 −9 −8 + 4 =13 −13 = 0
det	2		3			8
		−1	1			1
		1	− 2			0								= 0
det		2	3			7
		−1	1			−1
		1	−3			0		= 0
det		2	8			7
		−1	1			−1
		− 2	−3			0
det	3		8			7								= 0

1. 1 −1

⇒ r( A)= 2

Т. – Ранг матрицы не изменяется при :

• перемене местами двух строк

• умножении строки на число α ≠ 0

• сложении строки с другой, умноженной на число α ≠ 0

Т. – r( A )= r(A^T )

З. – В соответствии со второй теоремой, первая теорема справедлива и для столбцов.