3) Метод Гаусса

Рассмотрим систему уравнений (1) состоящую из m уравнений с n неизвестными. Прежде чем решать, отметим, что если система содержит уравнение вида

0x1 + 0x2 +... + 0xn = bi = 0

(5)

то его можно вычеркнуть, так как его решением является любой набор c _j .

Если система содержит уравнение вида

0x1 +0x2 +... +0xn = bi ≠ 0

(6)

То система несовместна, так как уравнение (6) не имеет решения.

В первом уравнении системы (1) найдётся хотя бы один коэффициент a_ij ≠ 0 .

Пусть для определённости a¹¹ ≠ 0 . Тогда умножим первое уравнение на ( − ^a21 ) и

^a11

прибавим преобразованное первое уравнение ко второму. Тем самым мы исключим x₁ из второго уравнения.

Затем, умножим первое уравнение на ( − ^a31 ) и прибавим к третьему, таким

^a11

образом исключив из третьего уравнения x₁ . И так далее.

Для исключения				x из уравнения m , умножим первое уравнение на ( −		am1	) и
				1		a11
прибавим первое уравнение к уравнению m .
В результате система (1) примет вид:
a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1
a(1) x	2	+... + a(1) x	n	= b(1)
22		2n		2
a(1) x	2	+... + a(1) x	n	= b(1)	(7)
32		3n		3
...
a(1) x	2	+... + a(1) x	n	= b(1)
k 2		kn		k

где ⁽¹⁾ - номер преобразования.

a₂₂⁽¹⁾ = a₂₂ − ^a12_a^a21 11

b₂^{(1 )} = b₂ − ^{a21 a}11

Системы линейных алгебраических уравнений

3

(1 )

a32(1)

Пусть a22 ≠ 0 , тогда умножим второе уравнение системы (7) на ( −

) и прибавим

a22(1)

к третьему, то есть исключим x2 из третьего. Исключим x2

из четвёртого и последующих

a(1)

a(1 )

a(1)

уравнений, для чего умножим каждое соответственно на ( −

42

), ( −

52

), …, ( −

k 2

).

a22(1)

a22(1)

a22(1)

Аналогично, будем последовательно исключать x3 ,

x4

и так далее.

Продолжая исключать неизвестные x j , мы придём к одному из трёх случаев:

- 0xi

+... + 0xi

= bi ≠ 0 (то есть система (1) несовместна)

1

n

- Треугольная система уравнений вида:

a11 x1 +... + a1n xn

= b1

a(1 )x

2

+... + a(1 ) x

n

= b(1 )

22

2n

2

(8)

...

a_nn^{(n −1)} x_n = b_n^{( n −1)}

Эта система содержит n уравнений с n неизвестными и имеет единственное решение.

З. – коэффициенты a_ii^{(i −1)} , стоящие на главной диагонали матрицы коэффициентов, называются главными (ведущими) элементами. a_ii⁽ⁱ⁻¹⁾ ≠ 0 . Процесс называется прямым ходом метода Гаусса.

_b(n−1)

Чтобы решить систему (8), требуется вычислить xⁿ = ^{n( − )} и подняться по системе

a_nn^{n 1}

(обратный ход метода Гаусса).

- Обобщённая треугольная система уравнений (матрица коэффициентов трапециевидная):

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_{1 p} x _p +... + a_1n x_n = b₁

a(1 )x	2	+... + a(1 )	x	p	+... + a(1 ) x	n	= b(1 )
22		2 p			2n		2	(9)
...

a⁽_pp^{p −1)}x _p +... + a⁽_pn^{p −1)} x_n = b_p^{(p −1)}

где p < n

Система (9) имеет p уравнений с n неизвестными. Неизвестные x _p+1 ,..., x_n назовём свободными и перенесём в правые части уравнений системы (9):

Системы линейных алгебраических уравнений

4

a11 x1 + a12 x2 +... + a1 p x p

= b1 − a1( p +1) x ( p +1)

−... − a1n xn

a(1 )x

2

+... + a(1 ) x

p

= b(1 )

− a(1 )

x

( p +1)

−... − a(1 )x

n

22

2 p

2

2( p +1)

2n

(10)

...

a(ppp −1) x p = bp(p −1) − a(pp( −p1+)1)x( p +1)

−... − a(pnp −1)xn

Присвоим свободным неизвестным произвольные значения:

x _p+1 = α _p+1 , x _p+2 = α _p+2 ,..., x_n = α_n

З. – В математике произвольные значения обычно 0 или 1.

Таким образом, мы сможем вычислить правые части уравнений системы (10), так как система примет треугольный вид и будет иметь единственное решение.

Пусть x₁ = α₁ , x₂ = α₂ ,..., x _p = α _p , тогда последовательность α - одно из решений

системы (10), а значит, система совместна.

Так как выбор значений α _p+1 ,...,α_n был произволен, то при другом выборе получим

другое решение. Таким образом, система (10) имеет бесконечное множество решений (она неопределённа).

На практике, при математической обработке геодезических измерений, число уравнений m всегда больше или равно числу неизвестных n , поэтому третий случай, как правило, не встречается.

З. – Для повышения устойчивости решения СЛАУ используются модификации алгоритма Гаусса. Например, перестановкой строк в системе (1) добиваются, чтобы в качестве ведущего элемента на каждом шаге прямого хода выбирался максимальный по модулю элемент столбца (алгоритм Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцам). Если выбор ведущих элементов осуществляется ещё и по строкам, то алгоритм называют алгоритмом Гаусса с выбором ведущего элемента в результате полного перебора коэффициентов.

Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных является основным методом решения СЛАУ в геодезии.