Вопрос 13

предел числовой последовательности — это такое число, что для всякой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.

Число   называется пределом числовой последовательности  , если последовательность  является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа:

Если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа  , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

Обозначения:

Тот факт, что последовательность   сходится к числу   обозначается одним из следующих способов:

• 

• 

Свойства: 1. Арифметические свойства

• Оператор взятия предела числовой последовательности является линейным, т. е. проявляет два свойства линейных отображений.

  • Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.

• Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.

• Предел произведения числовых последовательностей факторизуется (делится или распределяется) на произведение пределов, если каждый из них существует.

• Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.

.

2. Свойства сохранения порядка

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.

• Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.

.

Примеры:

• 

• 

• 

• 

• .

Предел функции — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке. Например число b называется пределом функции в точке х=а, если для любой последовательности хn, стремящейся к а (xn из области определения функции, xn не равняется а, при любом n).

Последовательность соответствует значениям функций y=f(xn) сходится и ее предел равен числу b (lim f(x)=b) _.  xn=a (xn пренадлежит D (f), xn не равняется an) – f(xn) – b.

x-a

Примеры:

1. Y=f(x) = 4x²-1/2x-1, при x=6

f(6)=4*6²-1/2*6-1 = 143/11 = 13

lim 4x²-1/2x-1 = 13

x-6

2. lim (2xn-1) = lim 2x-lim 1 = 11

n - ∞ n - ∞

3. lim (4xn²-1) = 4*6²-1 = 143

n - ∞

4. lim f(xn) = lim 4x²n-1/2xn-1 = lim (4x²n-1)/lim (2xn-1)

n - ∞ n - ∞

5. lim 4x²-1/2x-1 = [4*0,5²-1/2*0,5-1 = 0/0] = lim (2x-1)*(2x+1)/2x-1 = lim (2x+1) = 2 * 0,5 + 1 = 2

n – 0,5 n – 0,5 n – 0,5