3. Основные свойства функции распределения и плотности распределения св.

Функцией распределения случайной величины называется числовая функция F(x), , определенная для каждого действительного x и равная вероятности такого события, что случайная величина примет значения строго меньше х: . Основные свойства функции распределения: 1)Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси. 2)Вероятность попадания случайной величины в интервал [х1,х2) (включая х1)равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е. . 3)На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единиц: F(-∞)=0 F(+∞)=1. 4)функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: 0≤F(x)≤1. Плотностью вероятности (плотностью распределения) f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная её функции распределения . По заданной плотностью вероятности f(x) непрерывной случайной величины Х её функции распределения F(x) восстанавливается определённым интегрированием: . Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины: 1) Плотность вероятности - неотрицательная функция, т.е . как производная монотонно неубывающей функции F(x). 2) - условие нормировки ф-ии плотности распределения. Отсюда следует, что для нахождения вероятности события, что непрерывная случайная величина примет значение на [x1,x2] будет равны: 3) Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал[х1, х2] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от х1 до х2, т.е .

4. Числовые характеристики св: математическое ожидание, дисперсия, асимметрия и эксцесс.

Случайная величина полностью определяется своим распределением, будь это закон распределения для дискретной случайной величины, либо функция распределения или плотность вероятности для непрерывной. Для многих реальных задач эта информация излишне полна и в то же время на практике часто закон распределения неизвестен и получение его связано со значительными затратами. В таких случаях пользуются некоторыми суммарными характеристиками случайной величины, которые представляют собой отдельные числа. К важнейшим из низ относятся математическое ожидание и дисперсия. Математическим ожиданием, или средним значением случайной величины X, по определению, называется сумма попарных произведений значений случайной величины на вероятности этих значений. Для дискретной случайной величины, принимающей n различных значений, это есть: , x_i - все возможные различные значения случайной величины Х, p_i - вероятности событий, что случайная величина Х примет значения x_i. Математическое ожидание является мерой концентрации (центрирования) случайной величины. Смысл характеристики математического ожидания заключается в следующем: это точка на числовой оси, около которой, как правило, математическое ожидание является мерой концентрации (центрирования) случайной величины. Дисперсией дискретной случайной величины X, называется сумма попарных произведений квадратов разностей значений случайной величины и ее математ. ожиданий на вероятность события, что эта сумма принимает х_i значения. . Для непрерывной случайной величины дисперсия выражается через следующий интеграл: . Дисперсия является мерой разброса (рассеивания) значений случайной величины X относительно её математического ожидания.

В ряде случаев в математической статистике вычисляют показатели формы распределения частот по вариантам: асимметрию и эксцесс. Характеристика симметричности распределения – коэффициент асимметрии – рассчитывается по формуле

, где – центральный момент третьего порядка;

– куб среднего квадратического отклонения.

Если варианты распределены симметрично относительно средней величины , т.е. равноудаленные от варианты имеют одинаковые частоты, коэффициент асимметрии равен нулю. Если < 0, в вариационном ряду преобладают варианты, которые меньше, чем средняя величина. В этом случае говорят о наличии левосторонней асимметрии. И, наоборот, при > 0 преобладают варианты, которые больше . Это указывает на правостороннюю симметрию.

Пример. Рис. 1 иллюстрирует зависимость вида кривой распределения от асимметрии.

K_a >0

K_a =0

K_a <0

Рис. 1

Для симметричных распределений рассчитывается также эксцесс распределения – показатель островершинности распределения. Эксцесс рассчитывается по формуле

,

где – центральный момент четвертого порядка.

При расчете экцесса эталоном является нормальное распределение, для которого , и, следовательно . Для распределений, у которых , кривая более островершинная, чем нормальная кривая. Если , кривая будет более плосковершинной.

Пример. Рис. 2 иллюстрирует зависимость вида кривой распределения от эксцесса

Рис. 2