31. Специальные злп. Транспортная задача.

Под названием «транспортная задача» объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Формулировка транспортной задачи. Однородный груз сосредоточен у k поставщиков в объемах a₁, а₂,..., а_k. Данный груз необходимо доставить и потребителям в объемах b₁, b₂, ..., b_n. Известны с_ij i= 1, 2, ..., k и j = 1, 2, ..., n — стоимости перевозки единицы груза от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков будут вывезены полностью, запросы всех потребителей полностью удовлетворены и суммарные затраты на перевозку всех грузов минимальны. Исходные данные транспортной задачи обычно записываются в таблицу –

	b1	b2	…	bn
a1	с11	с12		с1n
a2	с21	…		с2n
…	…	…	…	…
ak	сk1	…	…	сkn

Исходные данные задачи могут быть представлены также в виде вектора запасов поставщиков А = (a₁, а₂,..., а_k), вектора запросов потребителей В= (b₁, b₂, ..., b_n) и матрицы стоимостей C={с_ij}

В транспортных задачах под поставщиками и потребителями понимаются различные промышленные и сельскохозяйственные предприятия, заводы, фабрики, склады, магазины и т.д. Однородными считаются грузы, которые могут быть перевезены одним видом транспорта. Под стоимостью перевозок понимаются тарифы, расстояния, время, расход топлива и т.п.

	a1	a2	…	an
b1	x11	x12		x1n
b2	x21	…		x2n
…	…	…	…	…
bk	xk1	…	…	xkn

Математическая модель транспортной задачи. Переменными (неизвестными) транспортной задачи являются x_ij..,i-(=1,2, ..., k), j= 1,2, ..., n — объемы перевозок от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Эти переменные можно записать в виде матрицы перевозок:

или

Так как произведение c_ijx_ij. определяет затраты на перевозку груза от i-го поставщика j-му потребителю, то суммарные затраты на перевозку всех грузов равны . По условию задачи требуется обеспечить минимум суммарных затрат. Следовательно, целевая функция задачи имеет вид: Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений. Первая группа из k уравнений описывает тот факт, что запасы всех k поставщиков вывозятся полностью: Вторая группа из n уравнений выражает требование полностью удовлетворить запросы всех n потребителей: Учитывая условие неотрицательности объемов перевозок, математическую модель задачи можно записать так:

В рассмотренной модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, т.е. Такая задача называется задачей с правильным балансом, а ее модель — закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача называется задачей с неправильным балансом, а ее модель — открытой.

Математическая формулировка транспортной задачи такова: найти переменные X=(x_ij ) задачи удовлетворяющие системе ограничений: условиям неотрицательности и обеспечивающие минимум целевой функции.