1. Случайная величина (св), классификация св: непрерывная и дискретная св. Экономические примеры.

Случайный характер окружающих нас явлений проявляется через некоторые числовые характеристики этих явлений. Так, например, неудачи или успех в экономической деятельности выражаются потерями или прибылью, упущенной выгодой; различные правонарушения оцениваются эквивалентными материальными потерями, потерями рабочего времени; неблагоприятные погодные условия приводят также к потерям производства сельскохозяйственных товаров, росту цен и т.д. На всех этих примерах видно, что существует опр. соответствие между случайными событиями и вызванными ими последствиями, выраженными в числовой форме. Теоретико-множественная трактовка основных понятий теории вероятностей позволяет дать следующее определение результату этого соответствия - случайная величина. Случайная величина – числовое множество, каждый элемент которого есть ф-ия случайного события . Различают случайные величины дискретные и непрерывные. Если множество значений случайной величины конечное или счётное множество, то такая случайная величина называется дискретной, если случайная величина принимает значения из некоторого числового интервала множества действительных чисел - то такая случайная величина называется непрерывной. Поскольку случайные величины есть функции, т.е. множества, поэтому обычно их обозначают прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z,… а их значения – соответствующими строчными буквами х, у, z…. Замечание: Как видно из определения случайной величины она определена на тех же множествах, что и функция вероятность. В отличие от вероятности на случайную величину Х не накладываются никаких ограничений (аксиом) в математике и даже можно сказать большее, её конкретный вид определяется вне математики. Так, например, величину и характер санкций за правонарушения в разные исторические времена определяли по-разному. Потери при неблагоприятных погодных условиях определяются ценами сельскохозяйственные продукты и т.д.

2. Полное описание св: закон распределения, функция распределения и плотность распределения св.

В зависимости от типа случайной величины – дискретной или непрерывной -возможны различные способы её задания. Но в любом случае задать случайную величину только набором её значений не достаточно, поскольку эти значения имеют свойство различное количество раз повторяться в зависимости от повторяемости случайных событий, на которых определена функция - случайная величина. Характеристика повторяемости случайных событий есть его вероятность. Поэтому для наиболее полного, исчерпывающего описания случайной величины надо задавать 2-а множества: множество её значений и множество вероятностей этих значений. В результате мы приходим к следующему определению. Закон распределения дискретной случайной величины – совокупность 2-х множеств, одно из которых значение случайной величины, а второе – вероятности таких событий, что случайная величина принимает множество своих значений Х={x1,x2,…, xn}, P={p1,p2,…, pn}. Про случайную величину говорят, что она «распределена» по данному закону распределения или «подчинена» этому закону распределения. Закон распределения может быть задан в виде ряда, таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически. Если закон распределения имеет вид таблицы или множества упорядоченных пар с указанием значений случайной величины и их вероятностей, то такая таблица или множество носит название ряд распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины Х:

хi	1	2	3	4
pi	0.2	0.5	0.2	0.1

Функцией распределения случайной величины называется числовая функция F(x), , определенная для каждого действительного x и равная вероятности такого события, что случайная величина примет значения строго меньше х: .

В соответствии с определением случайной величины Х= F(x) является также полной её характеристикой. Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения F(x) является не только полной, но и универсальной характеристикой случайной величины Х= , поскольку она может быть использована для полного описания как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

хi	1	2	3	4
pi	0.2	0.5	0.2	0.1

Пример Дан ряд распределения случайной величины Х:

Построить для Х функцию распределения. F(x).

Решения. Будем задавать различные значения х и находить для них значения F(x) = P(X < x)

1. Если х ≤ 1 F(x) = 0, в том числе и при х =1, т.к. F(1)=P(X<1)=0

2. Пусть 1< x ≤ 2 F(x) = 0.2

3. Пусть 2< x ≤ 3 F(x) = 0.7

4. Пусть 3< x ≤ 4 F(x) = 0.9

5. Пусть x > 4 F(x) = 1

Изобразим функцию F(x) графически (рис.11).

F (x)

1

0 .5

0 1 2 3 4 5 х

Рис.11

Этот пример позволяет утверждать, что в случае дискретных случайных величин F(x) есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(x) равна 1.

Полное описание непрерывной случайной величины начинается с определения ф-ии непрерывной случайной величины. , f(x) – ф-ия плотности вероятности. Полным описанием непрерывной случайной величины яв-ся 2 ф-ии: ф-ия распределения – F(x) и ф-ия плотности вероятности – f(x). Ф-ия распределения яв-ся общим описанием для любой случайной величины, ф-ия плотности вероятности – только для непрерывной случайной величины, закон распределения – только для дискретной. Невозможность описания дискретной случайной величины ф-ий плотности связано с тем, что для дискретной случайной величины ф-ия кусочно-постоянная и не существует производной от ф-ии распределения случайной величины. В теории вероятности предпочтительно исп-ся для описания непрерыв. случ. величины – ф-ия плотности. Основные свойства функции распределения: 1. ф-ия распределения , 2. (достоверная вероятность), 3. . Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения F(x) также не является единственным. При решении теоретических и прикладных задач часто требуется знание вероятности значений случайной величины, лежащих в интервале от х до х +Δx, где Δ – малая величина. Поэтому вводят ещё одно полное описание, предназначенное только для непрерывных случайных величин - производную от функции распределения - . Плотностью вероятности (плотностью распределения) f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная её функции распределения . По заданной плотностью вероятности f(x) непрерывной случайной величины Х её функции распределения F(x) восстанавливается опр. интегрированием: . Свойства ф-ии плотности распределения: 1. , 2. - условие нормировки ф-ии плотности распределения. Отсюда следует, что для нахождения вероятности события, что непрерывная случайная величина примет значение на [x1,x2] будет равны: 3. .