3.5 Прогрессирующие погрешности

Прогрессирующие погрешности – погрешности, меняющиеся (как правило, увеличивающиеся) медленно и на протяжении длительных промежутков времени (месяцев и лет) по, как правило, неизвестному закону. Это могут быть погрешности как систематические, так и случайные, но во всяком случае это погрешности инструментальные, погрешности средств измерений. Причины таких погрешностей – в изнашивании, в «усталости», в старении составных частей (материалов, деталей, узлов) средств измерений, а также в жесткости условий их применения и ненадлежащем обращении и уходе за ними (перегрузки, нарушение режимов работы, плохая профилактика). Негативным следствием наличия прогрессирующих погрешностей является выход фактических погрешностей конкретных экземпляров средств измерений за допускаемые, нормируемые пределы и увеличение (притом скрытое) в конечном итоге погрешности измерений. Дополнительно о прогрессирующих погрешностях как погрешностях средств измерений будет сказано при изложении следующей темы.

3.6 Грубые погрешности (промахи)

Грубая погрешность измерения или промах – это погрешность отдельного измерения из ряда измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных. Источники грубых погрешностей:

- неправильный отсчёт по шкале измерительного прибора;

- описки, ошибки в расчётах;

- резкие и неожидаемые, но относительно редкие изменения параметров окружающей среды, скачки параметров источников питания, появление одиночных помех (полевых, сетевых, радиационных).

Признаком наличия в результате измерений промаха является появление в ряду однотипных измерений (многократных, однократных одной и той же величины у однотипных объектов измерений) результатов, значительно отличающихся от других или выходящих за предполагаемые границы. При проведении многократных измерений существуют различные количественные критерии обнаружения промахов, наиболее применяемым из которых является критерий «трёх сигм». По этому критерию погрешность относят к промаху, если она выходит за границы доверительного интервалы 3S (3σ), что соответствует доверительной вероятности Р_д = 0,997.

3.7 Обработка результатов измерений

Конечной целью всяких измерений является получение значения измеряемой величины и оценка его точности в виде доверительного интервала полной погрешности. Результирующая погрешность чаще всего складывается (является некоторой композицией) из разного рода частных погрешностей: методической, инструментальной и субъективной, систематической и случайной, основной и дополнительных, статических и динамических, погрешностей прямых измерений при измерениях косвенных, совокупных и совместных. Наиболее простой обработки требуют результаты прямых однократных измерений, проводимых в нормальных условиях. Наиболее сложной – многократные, косвенные, совокупные, совместные измерения, а также результаты измерений, проводимых с помощью сложных средств измерений – измерительных установок, комплексов и систем.

В настоящее время для всех этих случаев обработки результатов измерений разработаны как теория, так и практические руководства, порой довольно сложные и объёмные. Ниже будут рассмотрены упрощенные методы обработки результатов измерений, достаточные при проведении основной массы технических измерений.

Обработка результатов однократных измерений имеет ту особенность, что оценка их погрешности производится заранее, до проведения самих измерений, априори. Для этого необходимо иметь предварительные сведения о составных частях погрешности измерений: методической и инструментальной, в том числе о систематических и случайных составляющих этих погрешностей. с Инструментальная погрешность, в свою очередь, состоит из основной и разного рода дополнительных погрешностей. Основная погрешность нормируется (указывается) в технической документации на средство измерений или в виде двух составляющих – систематической и среднего квадратического значения случайной, или просто погрешности, неразделяемой на составляющие и представляющей собой, фактически, систематическую погрешность. Кроме того, в документации указываются функции или коэффициенты влияния изменения параметров условий проведения измерений на метрологические характеристики средства измерений, которые позволяют рассчитать дополнительные погрешности.

Подавляющее число типов современных рабочих средств измерений имеют нормативную (допускаемую) основную погрешность в виде неразделяемой на составляющие. Однако, несмотря на это погрешность средства измерений для целей определения результирующей погрешности измерений рассматривают как случайную, распределённую равномерно в доверительном интервале при доверительной вероятности, равной 1. Это допущение обосновывается тем, что у конкретного экземпляра средства измерений данного типа, используемого при данном измерении, его индивидуальная погрешность может быть любой в нормированном для типа интервале.

В общем случае результирующая погрешность однократного измерения складывается из нескольких составляющих. В простейшем случае, однако довольно часто имеющим место при рабочих измерениях, когда методическая погрешность отсутствует, измерения являются статическими и нет динамической погрешности, измерения проводятся в нормальных условиях и нет дополнительных погрешностей, результаты измерения не исправляются, т.е. в них не вносятся поправки, результирующая погрешность складывается из основной допускаемой погрешности и погрешности квантования (отсчёта), принимаемые как квазислучайные величины с равномерным законом распределения, и рассчитывается по формуле

, (3.7)

где – предел результирующей абсолютной погрешности;

– предел основной допускаемой абсолютной погрешности;

– предел погрешности квантования.

При наличии нескольких неисключённых систематических погрешностей Δ_i (методических, основной инструментальной, дополнительных), каждая из которых также принимается квазислучайной, результирующая погрешность находится по формуле

, (3.8)

где К – коэффициент, зависящий от принятой доверительной вероятности Р_д и выбираемый по специальным таблицам, так, например, при Р_д = 0,95 К = 1,1, при Р_д = 0,99 К = 1,4.

В случае присутствия в результате измерений как систематических, так и случайных погрешностей результирующая погрешность (её доверительные границы) определяются по формуле

, (3.9)

где S_Σ – суммарная средняя квадратическая погрешность результата измерений;

S_сл – общая средняя квадратическая погрешность случайных составляющих погрешности;

S_с – общая средняя квадратическая погрешность систематических составляющих погрешности;

S_j – средние квадратические погрешности случайных составляющих методических и инструментальной погрешностей;

Δ_i – систематические погрешности результата измерений;

t_Σ – вероятностный коэффициент, зависящий от вида закона распределения случайных и квазислучайных погрешностей и выбранного значения доверительной вероятности Р; для законов распределения нормального, трапецеидального и равномерного он изменяется от 1,7 при Р = 0,9 до 2,4 при Р = 0,99.

В случае, когда ряд систематических погрешностей известны (могут быть определены) как по значению, так и по знаку (чаще всего это погрешности методические или дополнительные инструментальные), то результирующая погрешность (верхнее и нижнее значения) рассчитывается по формуле

, (3.10)

где Δ_сk – систематические погрешности с известным значением и знаком.

Окончательный результат однократного измерения представляется в виде «Q±Δ_Σ при Р такой-то».

Обработка результатов многократных измерений включает в себя следующие этапы:

- исправление результатов отдельных измерений исключением или уменьшением (если это возможно и оправдано) внесением поправок;

- вычисление среднего арифметического значения измеряемой величины;

- вычисление средней квадратической погрешности результатов отдельных измерений S;

- исключение промахов и уточнение ;

- построение гистограммы и установление закона распределения случайной погрешности путем выбора типового закона, наиболее близко совпадающего с полученной гистограммой;

- вычисление средней квадратической погрешности среднего арифметического значения ;

- определение по таблице коэффициента Стьюдента t_p для заданной (выбранной) доверительной вероятности Р_д и проведённого числа измерений n (n ≤ 30);

- вычисление границ доверительного интервала случайной погрешности средненго арифметического значения по формуле D_p = ±t_p S ;

- вычисление границ доверительного интервала полной (результирующей) погрешности с учётом не исключённой систематической погрешности по формуле

, (3.11)

где S_Σ – суммарная средняя квадратическая погрешность результата измерений;

– средняя квадратическая погрешность среднего арифметического значения измеряемой величины;

S_с – общая средняя квадратическая погрешность систематических составляющих погрешности;

Δ_i – систематические погрешности результата измерений;

t_Σ – вероятностный коэффициент, вычисляемый по формуле

, (3.12)

где Δ_сΣ – суммарная (результирующая) систематическая погрешность.

Окончательный результат многократных измерений записывают в виде:

при Р_д такой-то.

Обработка результатов косвенных измерений включает в себя два основных этапа: расчёт самой искомой (косвенно измеряемой) физической величины по результатам прямых измерений величин, функционально связанных с искомой величиной известным уравнением связи, и расчёт (определение) погрешности результата косвенного измерения. Без учёта методической погрешности погрешность косвенного измерения полностью и однозначно определяется погрешностями измерений прямо измеренных величин. Для определения погрешности косвенного измерения существуют разные методы, из которых наиболее часто используют метод приращений и метод линеаризации. Оба эти метода построены на использовании (преобразовании) уравнения связи между косвенно измеряемой величиной и величинами, измеренными прямо, которое в общем виде можно представить выражением

Q = F(Q₁; Q₂… Q_i… Q_m), (3.13)

где Q – результат косвенного измерения;

Q₁; Q₂… Q_i… Q_m – результаты измерения прямо измеренных величин;

m – число прямо измеренных величин;

F – функция связи.

Оба названные методы основываются на допущении, что погрешности результатов прямых измерений по сравнению с самими результатами представляют собой малые величины (в худшем случае 5 -10 %, в лучшем – десятые и менее доли процента). Это позволяет представить их в виде приращений к результатам измерений в уравнении связи, которое при этом примет вид

Q±ΔQ= F(Q₁ ±ΔQ₁; Q₂ ±ΔQ₂… Q_i ±ΔQ_i … Q_m ±ΔQ_m),

где ΔQ, ΔQ₁, ΔQ₂, ΔQ_i, ΔQ_m – погрешности косвенного и прямых измерений соответственно.

Согласно методу приращений погрешность косвенного измерения находится как разность между этими двумя уравнениями связи, т.е.

ΔQ = F(Q₁ ±ΔQ₁; Q₂ ±ΔQ₂… Q_i ±ΔQ_i … Q_m ±ΔQ_m) – F(Q₁; Q₂… Q_i… Q_m).

При расчёте погрешности данным методом принимаются во внимание два метрологических обстоятельства, которые позволяют упростить расчётные выражения без существенного увеличения погрешности расчётов. Первое из них связано с тем, что знаки погрешностей результатов прямых измерений, как правило, не известны, и поэтому во избежание занижения определяемых погрешностей косвенных измерений при расчётах погрешности прямых измерений суммируются по модулю, т.е. идут на заведомое завышение искомых погрешностей. Второе обстоятельство связано с тем, что произведение двух и более малых величин, а погрешности являются именно такими величинами, представляет собой величину более высокого порядка малости, и ею можно пренебречь. В качестве примеров ниже дан расчёт погрешностей косвенных измерений, при первом из них уравнение связи представляет алгебраическую сумму прямо измеренных величин, а при втором – отношение.

Пример 1. Косвенное измерение расстояния l между центрами двух отверстий с параллельными осями, расположенными на одной детали, при прямом измерении (например, штангенциркулем) трёх величин: диаметров отверстий d₁ и d₂ и расстояния между внешними образующими отверстий L. Зависимость между искомой величиной и измеренными величинами при этом имеет вид

.

Абсолютные систематические погрешности задействованных величин можно представить как их приращения, и тогда данная формула примет вид

При вычитании первого выражения из второго будет получено выражение

которое представляет собой уравнение связи для абсолютной погрешности косвенного измерения, и оно полностью по структуре совпадает с уравнением связи для самих величин. Однако это уравнение непосредственно для расчёта не применяют, его корректируют с учётом первого метрологического обстоятельства и оно примет окончательный вид

Рассчитанная по данной формуле погрешность представляет максимально возможную (предельную) абсолютную погрешность косвенного измерения. При этом погрешности, входящие в правую часть выражения представляют собой частные погрешности, из которых слагается полная погрешность результата косвенного измерения. Частная погрешность представляет собой произведение погрешности прямого измерения на коэффициент влияния (в данном примере они равны 1; 1/2; 1/2).

В определённых случаях интерес может представлять относительная погрешность косвенного измерения, рассчитываемая как отношение абсолютной погрешности к результату измерения, т.е. .

Пример 2. Косвенное измерение сопротивления нагрузки методом амперметра-вольтметра, при котором прямо измеряют напряжение, приложенное к нагрузке, и силу тока, протекающего через нагрузку, а сопротивление (в случае активной нагрузки) определяют через отношение результатов прямых измерений, т.е. уравнение связи имеет вид

R=U/I.

Пусть напряжение измерено с погрешностью ΔU, а ток – ΔI, тогда уравнение связи в приращениях примет вид

R+ΔR= (U+ΔU) / (I+ΔI).

Из полученного выражения с помощью простых преобразований находят выражение для абсолютной погрешности измерения сопротивления:

С учётом выше сформулированных обстоятельств о неопределённости знака погрешностей прямых измерений и отбрасывании малых величин выражение для определения максимально возможной абсолютной погрешности косвенного измерения примет окончательный вид

,

где и - частные погрешности измерения сопротивления, вызываемые погрешностью измерения напряжения и тока соответственно, и – коэффициенты влияния.

Максимально возможная относительная погрешность косвенного измерения в результате соответствующих преобразований полученного выражения примет вид

В данном случае частные погрешности равны соответствующим относительным погрешностям измерения напряжения и тока, т.е. коэффициенты влияния равны единице.

Рассмотренные примеры уже дают возможность сделать два обобщающих вывода:

а) в случае представления уравнения связи между искомой величиной и исходными в виде алгебраической суммы наиболее просто определяется абсолютная погрешность косвенного измерения путём суммирования абсолютных частных погрешности прямых измерений, т.е.

, (3.14)

где b_i – коэффициент влияния абсолютной погрешности прямого измерения i-той величины на абсолютную погрешность косвенного измерения;

ΔQ_i – абсолютная погрешность прямого измерения i-той величины ;

m – число прямо измеренных величин;

Δ_iQ – частная абсолютная погрешность косвенного измерения, вносимая абсолютной погрешностью измерения i-той величины прямых измерений.

б) в случае представления уравнения связи между искомой величиной и исходными в виде произведения или отношения наиболее просто определяется относительная погрешность косвенного измерения путём суммирования относительных частных погрешностей прямых измерений, т.е.

, (3.15)

где B_i – коэффициент влияния относительной погрешности измерения i-той величины на относительную погрешность косвенного измерения, который чаще всего равен степени соответствующей величины в уравнении связи;

δQ_i – относительная погрешность прямого измерения i-той величины;

δ_iQ – частная относительная погрешность косвенного измерения, вносимая относительной погрешностью измерения i-той величины прямых измерений.

Выше рассматривались выражения для определения максимально возможных погрешностей результатов косвенных измерений, т.е. завышенных по сравнению с действительными. В некоторых случаях (ответственные измерения) идут на такое завышение. Однако, в большинстве случаев такое завышение нежелательно, и тогда использует еще одно метрологическое обстоятельство, связанное с тем, что известные погрешности прямых измерений – это не действительные их значения в конкретном случае, при использовании конкретных экземпляров средств измерений, а пределы, в которых могут находиться эти самые действительные значения: ± ΔQ_i или ± δQ_i. Поскольку данные пределы устанавливаются для типа средства измерений, т.е. для множества экземпляров средств данного типа, то действительное значение погрешности конкретного экземпляра средства измерений, использованного при конкретных измерениях, носит вероятностный, случайный характер. Это обстоятельство даёт основание находить наиболее вероятное значение погрешности косвенного измерения не арифметическим суммированием пределов частных погрешностей, а геометрическим или квадратичным, т.е.

или . (3.16)

Метод приращений достаточно нагляден и применим для любых уравнений связи косвенно и прямо измеряемых величин, особенно для уравнений связи в виде алгебраической суммы результатов прямых измерений. Однако он оказывается довольно громоздким и неудобным для уравнений связи в виде произведений (отношений) и, тем более, в виде степенных выражений.

Более совершенным и широко применяемым методом определения погрешностей косвенных измерений является метод линеаризации. Он основан на разложении уравнения связи в приращениях в ряды Тейлора по каждой прямо измеряемой величине. В общем случае разложение в ряд Тейлора функции одного переменного имеет вид

, (3.17)

где h – приращение аргумента a.

Приращение функции при этом составит

(3.18)

Для определения погрешности достаточно взять только первый член разложения, так как последующие члены ряда являются величинами второго и последующих порядков малости. Полная погрешность косвенного измерения представляет собой сумму частных погрешностей по каждой прямо измеренной величине. Обычно выражение для определения абсолютной максимально возможной погрешности косвенного измерения ΔQ представляют в следующем виде

, (3.19)

где – первая частная производная функции, вычисляемая в точке Q_i, и представляющая собой коэффициент влияния b_i.

Δ Q_i – абсолютная погрешность результата измерения прямо измеряемой величины Q_i.

Из полученного выражения следует, что погрешность косвенного измерения есть линейная функция погрешностей прямых измерений или, другими словами, функция связи между косвенно измеряемой величиной и каждой прямо измеряемой величиной в окрестностях точек, соответствующих полученным при измерениях значениям, принимается линейной, хотя в широком интервале изменения прямо измеряемых величин она является чаще всего нелинейной. Отсюда и название метода – метод линеаризации.

Выражение для определения относительной максимально возможной погрешности может быть выведено из выражения для абсолютной погрешности путём очевидных преобразований:

, (3.20)

где – коэффициент влияния;

δQ_i – относительная погрешность прямо измеряемой величины Q_i.

Наиболее вероятные абсолютную и относительную погрешности определяют квадратичным суммированием по выше приведённым формулам (1) и (2).

Подтверждение совпадения результатов определения погрешностей косвенных измерений рассмотренными двумя методами можно показать на примере косвенного измерения сопротивления нагрузки, определив для него максимально возможную относительную погрешность методом линеаризации. Так как уравнение связи косвенного измерения в этом случае имеет вид , то первая частная производная , вторая частная производная , из чего следует , или с учётом неопределённости знака погрешностей прямых измерений Совпадение получено.

Применение приведенных выше выражений для расчёта погрешностей результатов косвенных измерений, особенно наиболее вероятных, предполагает наличие двух условий:

- доверительные вероятности погрешностей всех прямо измеряемых величин одинаковы;

- погрешности всех прямо измеряемых величин взаимно независимы.

Отсутствие этих условий требует усложнения расчётных выражений, в частности, учёта коэффициентов корреляции между погрешностями прямых измерений. В теории погрешностей соответствующие методы разработаны.

Кроме того, важным условием при проведении косвенных измерений является обеспечение равноточности прямых измерений, т.е. примерного равенства частных погрешностей, определяемых погрешностями измерения величин, подвергаемых прямым измерениям, в составе погрешности измерения искомой величины. При отсутствии указанной равноточности погрешность измерения искомой величины, особенно наиболее вероятная, будет почти целиком определяться наибольшей погрешностью измерения какой-то одной из измеряемых прямо величин, в то время как меньшие погрешности измерения других величин окажутся пренебрежимо малыми, и усилия, потраченные на обеспечение этих малых погрешностей, окажутся напрасными и нерациональными.